离散数学第十章基本图类及算法习题答案.ppt

设一个树中度为k的结点数是nk(2?k)，求它的叶的数目。 解：设n个结点的树有t个叶， 由已知 n=t+∑ni 2(n-1)=t+ ∑ini 消去式中的n: 2= t+ ∑(2-i)ni 即： t= ∑(i-2)ni + 2 i=2 i=2 ? ? i=2 ? i=3 ? 习题十一 1 设e是连通图Ｇ的一条边，证明: e是割边当且仅当e含于G的每个生成树中. 证明: (?)如果割边e不在G的某个生成树中,则G- e仍有生成树,即仍连通,与割边的定义相矛盾. (?)如果e是每个生成树的公共边,则去掉e后G- e不再连通,即e为G 的割边. 习题十一 10 树T中最长道路的起点和终点必都是T的叶. 证明: 设u到v的道路是树中最长道路，如果u或v不是叶，由道路唯一性，必有u或v的邻接结点不在该道路上，因此这条道路可延长至w，与最长条件矛盾。 习题十一 2 用Kruskal算法求图的一个最小生成树。 解：边按序排列：ab,gc,eg,ed,af,fd,fe,dc,fb,bd,ag,bc 按算法构造生成树边集为：{ab,gc,eg,ed,af,fd}, W(T)=8. a g f e d c b 1 3 2 1 3 2 1 1 4 4 6 5 习题十一 12 用Kruskal定理证明Peterson图不是平面图。 证明：下面是Peterson图的一个子图， 它与k3,3的细分图同构，所以Peterson图不是平面图。  设G是阶数不小于11的图，证明：G或G中至少有一个是非平面图。 证明：假设G和G都是平面图，可得n(n-1)/2 ?6n-12， 所以 n2-13n+24 ?0 可得n?10，与已知矛盾。所以原题得证。 习题十二 3 证明：少于30条边的简单平面图至少有一个顶点的度不大于4。 证明：假设? ?5，可得 5n ?2m 由平面性，2m ?6n-12 再将n ?12 代入5n ?2m ，得m ? 30，与已知矛盾。所以原题得证。 ? n ?12 习题十二 5 若一平面图与其对偶图同构，则称这个平面图为自对偶图。推导自对偶图必须满足的结点数n与边数m的关系，并找出一个自对偶图。 解：如果G是自对偶图，在欧拉公式中必有n=f, 于是m=2(n-1). 习题十二 9 设G=（V，E）是一个具有2k(k0)个奇数度结点的连通图。证明：G中必存在k条边不相重的简单道路P1,P2,…,Pk, 使得E=E(P1) ?E(P2) ?… ?E(Pk). 证明：把2k个奇数度结点分成两两一组的k组，然后每组结点新加一条边，所得图为欧拉图，故存在欧拉回路。 再去掉欧拉回路中的k条新加入的边，得到k条互无重复边的道路P1,P2,…,Pk, 即为所求。 习题十三 2 v9 v6 v3 v1 求图中，中国邮递员问题的解。 解：图中有4个奇数度结点v1,v6,v9,v3, 求两两之间最短长度： Pv1v6=3 (v1v6), Pv1v9=7 (v1v2v3v4v9), Pv1v3=4 (v1v2v3), Pv6v9=7 (v6v7v8v9), Pv3v6=6 (v3v8v7v6), Pv3v9=3 (v3v4v9), Pv1v6和Pv3v9满足最小性要求， 复制v1v6和v3v4v9的边，图中欧拉回路即为所求解。 v2 v4 v5 v7 v8 v10 2 2 1 1 1 1 3 3 v11 3 4 4 1 5 5 6 2 习题十三 5 证明：连通图G是平面欧拉图当且仅当其对偶图是平面二部图。 证明： “?”：当G是平面欧拉图时，G的点度是偶数，对应G*的面度应是偶数，说明G*的回路都是偶长回路，从而G*是二部图。 “?”：当G*是平面二部图时，它的面度都是偶数，因而G的各点度均为偶数，故G是平面欧拉图。 n个人定期围圆桌而坐，商讨事务，他们希望每人每次两旁的人都和以前的不同，这样的安排最多有多少种？ 解：将人看作图的结点，邻座关系作为图的边。每次安排方式对应一个Hamilton回路。因为每人每次两旁的人都和以前不同，所以每2种安排方式对应2个无公共边的Hamilton回路。 因每个人都可与其余人邻座，所以本问题转化为在Kn中找出所有无公共边的Hamilton回路的个数。 Kn共有n(n-1)/2条边，每条Hamilton回路的长度为n，因此Kn中最多有(n-1)/2条无公共边的Hamilton回路。因此，最多有(n-1)/2种安排。 例如n=7时，共有3种就座方式，分别是： 1 2 3 4 5 6 7 1 1