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第10章多自由度体系自由振动分析.ppt

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第10 章 多自由度体系无阻尼自由振动分析 结构动力特性分析-特征值问题的性质 结构动力特性分析-特征值问题的性质 多自由度体系动力特性分析(举例) 振型正交性(2)利用Betti定理证明振型正交性 归一化振型 从数学角度理解特征系统的基本特性 特征系统的基本特性(续) 特征系统的基本特性(续) 特征系统的基本特性(续) * * 结构无阻尼自由振动方程 将简谐运动 代入上式可得 (10-1) (10-2) (10-3) 方程(10-3)为特征值问题。对特征方程分析可得一个动力系统的固有频率以及振型。 1、固有频率 从方程(10-3)可知:要获得{a}非零解,必须要求矩阵系数行列式为零: (10-4) 式(10-4)称为系统的频率方程,对其进行行列式展开可以获得一个关于ω2的n次(自由度数)的代数方程,它的n个根 表示系统可能的n个振型的频率。 2、振型 (10-5) 由频率方程式(10-4)求得系统n个固有频率 后,可以将任一个固有频率 回代入特征方程(10-3),以获得对应的振幅向量{a}: 式中: (10-6b) (10-6a) 上式中,由于系数矩阵 的行列式为零,因此是不定方程。对振幅向量除以a1,并记 以及 ,式(10-5)可以拆分为两个独立的系列: 将(10-5)式振幅向量除以a1后,可以按以下红线将系数矩阵[k]和振幅向量划分为子矩阵表示: 由于式(10-6b)对应方程组是确定的,可以从中解得n-1个未知量:a2/a1、a3/a1、…、an/a1,因此可以得到对应方程(10-5)的一组振幅向量 ,称为关于固有频率 的振型向量。式(10-6a)是一个多余方程,通常可以由于校核解的正确性。 所有n个标准振型向量构成了一个方阵[Φ]: 称为振型矩阵。 振型矩阵: 标准振型: 通常固有频率 对应的振幅向量(振型)用其无量纲形式给出,将{a}中各分量均除以它的最大分量,即得到第k 标准振型: 式中:φik表示第k振型曲线中第 i 自由度对应的无量纲化位移。 如图所示结构,E=2.6x107kN/m2,各柱尺寸0.6x0.6m. 求自振频率和振型。 EI=∞ EI=∞ m2=40t m1=60t 4m 6m 解:用刚度法得 k22 k12 k21 k11 Δ1=1 Δ2=1 则质量阵和刚度阵为 由频率方程解得: 频率方程为: 1.0 0.887 1.0 0.751 振型1(令 ): 振型2(令 ): Betti定理:若一结构分别受两种荷载体系作用并引起了相应的位移,则荷载体系1在荷载体系2对应位移上所作的功等于荷载体系2在荷载体系1对应位移上所作的功。 荷载a: 荷载b: 情况1(先加载荷载a,然后加载荷载b): 加荷载b: 加荷载a: 总功为: 情况2(先加载荷载b,然后加载荷载a): 加荷载a: 加荷载b: 总功为: 由于结构变形与加载次序无关,因此在两种情况下荷载作功应相等: 振型正交性(1)Betti定理 振型“n”: 振型“m”: 如将自由振动看作由惯性力引起的变形,将两个振型对应的惯性力作为施加荷载,振型即为惯性力荷载作用引起的位移(如右图所示)。对此体系应用Betti定理: 由于惯性力向量可表达为: 将此代入式(I),并注意[m]对称性,得: ( I ) 或写为 由于 ,则上式给出: 质量阵正交性: 将运动方程改写为: 上式两边同乘 : 刚度阵正交性: 显然,归一化振型可以由标准振型{φ}获得: 在结构动力分析中,常用到正交归一化振型。一个振型如满足以下条件则称为归一化振型,用记号 表示: 对于刚度阵,有: (1)如果[m]和[k]都对称,且至少有一个矩阵正定,则特征值一 定是实数,而特征向量也可以是实向量。如果[m]正定,并且[k]为正定或半正定,则所有特征值都是正的实数。 上述方程即为线性代数理论特征值问题,其中特征值λ对应系统的固有频率ω2,特征向量[φ]为系统的标准振型。 将多自由度体系无阻尼自由振动运动方程:

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