曲线曲面积分-题课.ppt

第一类曲面积分 2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算. 1、 对面积的曲面积分的概念; （一投！二代！三换！） 则 补充：参数方程曲面上的第一类曲面积分计算法 则 例4 解 由轮换对称性， 再由对称性， o y x y=a-x Dxy a 例 解 积分曲面方程 轮换对称 提示 即三个变量轮换位置方程不变. 具有 轮换对称性, 中的变量x、y、z 思考题 在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中, 有因子 , 试说明这个因子的几何意义. 思考题解答 是曲面元的面积, 故 是曲面法线与 轴夹角的余弦的倒数. 思考题 定积分、二重积分、三重积分、对弧长的曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为 是非题 是 因为若Ω为直线上的区间[a, b], 则 故 是 若Ω是平面区域G, 则 故 是 若Ω是空间区域, 则 故 是 若Ω为平面(空间)曲线L, 则 部分和式的极限为曲线积分 是 若Ω为曲面Σ, 则上述部分和式的极限就是 曲面积分 其中Σ是球面 解 Σ的方程 方程是: 方程是: 投影域 Σ 记上半球面为 下半球面为 不是单值的. 计算曲面积分 的值. 对上半球 得 对下半球 Σ是球面 所以 极坐标 计算 其中Σ为球面 之位于平面 曲面Σ的方程 Σ在xOy面上的投影域 Σ 解 上方的部分. Σ 因曲面Σ 于是 x3是x的奇函数， x2y是y的奇函数. 关于yOz面及xOz面对称; 1995年研究生考题,计算,6分 解 积分曲面 Σ在xOy面上的投影域 积分曲面 练 习 题 练习题答案 曲线积分 柱面面积 1.两类曲线积分的联系 2.二重积分与曲线积分的关系 ——格林公式 与路径无关的四个等价命题 条件 等 价 命 题 补充：全微分方程及其求法 1.定义: 则 若有全微分形式 例如 全微分方程 或恰当方程 所以是全微分方程. 2.解法: ?应用曲线积分与路径无关. 通解为 ? 用直接凑全微分的方法. 全微分方程 ?不定积分法. 解 是全微分方程, 原方程的通解为 例1 曲线积分法 解 是全微分方程, 将左端重新组合 原方程的通解为 例2 凑微分法 另解 是全微分方程, 原方程的通解为 例2 又 即 不定积分法 二、积分因子法* 定义: 问题: 如何求方程的积分因子? 1.公式法: 求解不容易 特殊地: 2.观察法: 凭观察凑微分得到 常见的全微分表达式 可选用的积分因子有 解 例3 则原方程为 原方程的通解为 (公式法) 可积组合法 解 将方程左端重新组合,有 例4 求微分方程 原方程的通解为 解 将方程左端重新组合,有 原方程的通解为 可积组合法 例5 求微分方程 解1 整理得 A 常数变易法: B 公式法: 例6 解2 整理得 A 用曲线积分法: B 凑微分法: C 不定积分法: 原方程的通解为 练 习 题 练习题答案 2002研究生考题(数学一) 8分 内具有一阶连续导数, L是上半平面 (y 0)内的有向分段光滑曲线, 其起点为(a, b),终点为(c, d). 记 (1) 证明曲线积分I 与路径L无关; (2) 当ab = cd 时,求I 的值. 证 因为 所以在上半平面内曲线积分I 与路径L无关. (1) 解 (2) 由于曲线积分I 与路径L无关, L是上半平面 (y 0)内的有向分段光滑曲线, 起点(a, b),终点(c, d). 所以 (2) 当ab = cd 时,求I 的值. 法一 解 (2) L是上半平面 (y 0)内的有向分段光滑曲线, 起点(a, b),终点(c, d). (2) 当ab = cd 时,求I 的值. 法二 设F(x)为f(x)的一个原函数,则 由此得 当 时，被积函数小于0，故当 时，此二重积分将达到最大值。也就是说当 是 的正向边界时 将取得大值。