第16次课——矩估计.ppt

不像其他科学，统计从来不打算使自己完美 无缺，统计意味着你永远不需要确定无疑。 ——Gudmund R.Iversen 【参数估计的相关概念】 估计量：用于估计总体参数的随机变量 如样本均值，样本方差等 【例如】 样本均值就是总体均值? 的一个估计量 参数用? 表示，估计量用 表示 估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值 如果样本均值 ?x =80，则80就是?的估计值 2014 概率论与数理统计 【统计名言】 * 第七章 参数估计 * 在数理统计中经常要根据样本来对总体的种种统计特征做出判断。实际工作中碰到的问题大致分为两类：一是总体的分布往往可以根据经验来判断其类型 ，但确切的形式并不知道，亦即总体的参数 未知；二是在某些情况下，所关心的并不是总体的分布，而只是总体的某些数字特征，特别是数学期望和方差。因此，要根据样本来估计总体的参数，这类问题称为参数估计。 参数估计的方法：点估计和区间估计。 * §7.1 点估计 一、点估计的概念 * 点估计是指把总体的未知参数估计为某个确定的值或在某个确定的点上. 点估计的方法有很多，本节主要介绍:矩法和极大似然估计法. 二、矩法 其基本思想是用样本矩估计总体矩 . 理论依据: 它是基于一种简单的“替换”思想建立起来的一种估计方法 . 是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的 . 大数定律 记总体k阶原点矩为 样本k阶原点矩为 记总体k阶中心矩为 样本k阶中心矩为 * 其中 为待估参数. 1、矩法的一般做法 设已知总体 , （1）设总体X的k阶矩 均存在,则 （2）设来自总体X样本的k阶矩 其中 （3）令总体的k阶矩分别与样本的k阶矩相等,即 * 这是含待估参数 的联立方程组，其解 可作为待估参数 的矩估计量,其观察值为待估参数的矩估计值. * 【例1】已知总体X的概率密度为: 其中 未知，样本为 ，求参数 的矩法估计. 【解】只有一个参数 ，因此只需一个方程即可. 而 因此有 解得 用样本1阶矩“代替”总体1阶矩，即 ■ * 方程组为 【解】估计两个参数需要两个方程，即 分别用样本1、2阶矩“代替”总体1、2阶矩. 【例2】 而 另外又有 因此有方程组 * 解得参数的矩估计量分别为： ■ * 【练习】已知总体X的概率密度为: 〖解〗 因为总体一阶矩 其中未知参数θ0,求θ的矩估计量. 由 * 故所求矩估计量为： 即 解得: ■ * 【例3】在某班期末数学考试成绩中随机抽取9人的成绩.结果如下表所示，试求该班数学成绩的平均分数，标准差的矩估计值. 序号 1 2 3 5 9 8 7 6 4 分数 94 89 63 65 71 75 78 85 55 而样本1、2阶矩分别为 【解】设X为该班数学成绩， 而总体X的1、2阶矩为 * 解得参数的矩估计量分别为： ■ * 【练习】求服从二项分布b(m, p)的总体X未知参数p的矩估计量. 〖解〗单参数，离散型. 由 即 故所求矩估计量为： ■ 因为 所以总体X的一阶矩(期望)为 * 矩法的优点是简单易行, 并不需要事先知道总体是什么分布。 缺点是，当总体类型已知时，没有充分利用分布提供的信息。一般场合下, 矩估计量不具有唯一性。 其主要原因在于建立矩法方程时，选取那些总体矩用相应样本矩代替带有一定的随意性。 * 三、 极大似然估计法 极大似然估计法是在总体的分布类型已知的条件下所使用的一种参数估计方法. 它首先是由德国数学家高斯在1821年提出 . Gauss Fisher 然而这个方法常归功于英国统计学家费歇 . 费歇在1922年重新发现了这一方法，并首先研究了这种方法的一些性质 . * 【例子】 是谁击中的野兔, 你会怎样想? 若让你推测一下， 一只野兔从前方窜过， 只听一声枪响，野兔应声倒下 . 某同学与一位猎人一起外出打猎。忽然， 极大似然估计法是基于极大似然原理提出的。为了说明极大似然原理, 我们先看个例子。 * 你会想：只一枪便击中,一般情况下猎人击中的概率比同学击中的概率大。 故，这一枪极大可能是猎人打的。 你的这一想法中就已经包含了极大似