第1章预备知识(使用版).ppt

* * 第一节 概率空间 第一章 预备知识 第二节 随机变量和分布函数 第三节 数字特征和特征函数 第四节 条件概率、条件期望和独立性 第五节 收敛性 第一节 概率空间 一、概率论是研究什么的？ 概率论——研究和揭示随机现象的统计规律性的科学 随机现象：不确定性与统计规律性 Home 二、随机试验 1．随机试验 Home 随机试验的特点： 1.可在相同条件下重复进行； （必然性） 2.每次试验的结果具有多种可能性,但在试验之前可 以明确试验的所有可能结果； （不可示性） 3.每次试验前无法确定哪种结果出现。 （偶然性） 对随机现象进行观测称为随机试验，用字母E表示。 E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反面; E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况； E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数; E4:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数； E5: 记录某网站一分钟内受到的点击次数； E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命; E7:任选一人，记录他的身高和体重 。 概率论中研究的随机现象不是日常人们所谈的偶然现象，它有特定的含义和特点。 例 随机试验的例子 2.1 样本空间：实验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为Ω ={ω }； 2.2 样本点: 试验的每一个结果或样本空间的元素称为一个样本点,记为ω . EX ：给出E1-E7的样本空间 2．样本空间 两个特殊事件: 必然事件Ω 、不可能事件?. 例如 对于试验E2 ，以下A 、 B、C即为三个随机事件: A＝“至少出一个正面” ＝{HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH}； B=“三次出现同一面”={HHH,TTT} C=“恰好出现一次正面”={HTT，THT，TTH} 3．随机事件 定义 试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”, 简称“事件”，记作A、B、C等。 说明 任何事件均可表示为样本空间的某个子集. 称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素 由一个样本点组成的单点集称为一个基本事件,记为ω Home 三、概率 1、 代数 定义 注 Borel 代数 Home 2、概率 Home 性质1 性质2 性质3 性质4 性质5 性质6 Home Home 3、完备概率空间 注 概率测度完全化 如果 的任何零概率事件对应集合的子集 包含于 ，称为完备概率空间。即：包含一切测度 为零的零测集的 ， 为完备概率空间。 3、上、下极限 Home 定义 注：极限存在即上极限、下极限存在并相等。 Home 第二节 随机变量和分布函数 Home 定义1 设Ω={ω}是随机试验的样本空间，如果量X是定义在Ω上的一个单值实值函数即对于每一个ω?Ω，有一实数X=X(ω)与之对应，则称X为随机变量。 随机变量常用X、Y、Z 或 ?、?、?等表示。 说明 Home 定义2 说明 设ξ是随机变量, 对任意实数x，事件{ξ?x}的概率P{ξ?x}称为随机变量ξ的分布函数， 记为F(x)，即 F(x)＝P{ξ?x} 对任意实数a, b (ab), P{aξ?b}＝P{ξ?b}－P{ξ?a}＝ F(b)－F(a) 性质1 0≤F(x)≤1，对一切ⅹ∈(-∞，+∞)成立； Home F(x)是ⅹ的不减函数； 性质2 性质4 性质3 F(x)至多有可列个间断点，而在其间断点上也是右连续的。 是否能类推多维随机变量呢？ 常见分布 Home 离散均匀分布 二项分布 几何分布 Poisson分布 指数分布 分布 连续均匀分布 正态分布 多维正态分布 分布 第三节 数字特征、矩母函数与特征函数 定 义 Home 定义 1 离散型随机变量X~P{ξ=xk}=pk, k=1,2,…n, 若级数 ，则称 为随机变量X的数学期望，简称期望或均值。 定 义 Home 定义 2 连续型随机变量X~F(x), 若级数 ，则称 为随机变量X的数学期望，简称期望或均值。 定 义 Home 定义 3 连续型随机变量X~F(x), 如下述积分存在称 为随机变量X的矩母函数。 定义 4 连续型随机变量X~F(x), 如下述积分存在称 为随机变量X的特征函数。 Home 有界性： 性质1 共轭对称性： 性质2 一致连续性： 性质3 线性变换的作用：设Y=aX+b，则Y的特征函数是 性质4 对概率线性运算封闭 性质5 对有限乘积运算封闭 性质6 分布函数由其特征函