期末复习总结-012级.ppt

向前差分 向前差分 差分与差商 差分的计算 * 函数逼近 三个问题 问题一 已知一个函数的数值表 x x1 x2 …… xn y y1 y2 …… yn 能否找到一个简单易算的 p(x) ，使得 p(xi) = yi 。 问题二 函数 f(x) 的表达式非常复杂，能否找到一个简单易算的 p(x) ，使得p(x) 是 f(x) 的一个合理的逼近。 问题三 问题一的表中的数值带有误差，能否找到一个简单易算的 p(x) ，可以近似地表示这些数据。 插值 数值逼近 * 曲线拟合 能否找到一个简单易算的 p(x) ，使得 f(x) ? p(x) 已知 f(x) 在某些点的函数值： x x0 x1 … xm f(x) y0 y1 … ym 但是 m 通常很大 yi 本身是测量值，不准确，即 yi ? f (xi) 这时不要求 p(xi) = yi , 而只要 p(xi) ? yi 总体上尽可能小 * 使 最小 使 最小 曲线拟合 p(xi) ? yi 总体上尽可能小 使 最小 常见做法 太复杂 ? 不可导，求解困难 ? 最小二乘法：目前最好的多项式曲线拟合算法 * 最小二乘 曲线拟合的最小二乘问题 这个问题实质上是本章后面求连续函数最佳平方逼近问题的离散形式。可以将的最佳平方逼近函数的方法直接用于求解该问题。 已知函数值表 ( xi , yi )，在函数空间 ? 中求 S*(x) ，使得 其中 ?i 是点 xi 处的权。 * 最小二乘求解 对任意 S(x) ? ? = span{?0, ?1, ?, ?n}，可设 S(x) = a0?0 + a1?1 + · · · + an?n(x) 则求 S*(x) 等价于求下面的多元函数的最小值点 k = 0, 1, …, n 最小值点 * 最小二乘求解 ( k = 0, 1, … , n ) 这里的内积是离散带权内积，即 ， 法方程 G 法方程 * 最小二乘求解 设法方程的解为： a0* , a1*, ?, an* , 则 S*(x) = a0* ?0 + a1* ?1 + · · · + an* ?n(x) 结论 S*(x) 是 f(x) 在 ? 中的 最小二乘解 * 举例 最小二乘问题中，如何选择数学模型很重要，即如何选取函数空间 ? = span{?0, ?1, ?, ?n} ，通常需要根据物理意义，或所给数据的分布情况来选取合适的数学模型。 * 多项式拟合 ?＝Hn= span{1, x, ..., xn}, 即 ?i = xi, 则相应的法方程为 此时 为 f(x) 的 n 次最小二乘拟合多项式 多项式最小二乘曲线拟合 * 举例 例：求下面数据表的二次最小二乘拟合多项式 得法方程 xi 0 0.25 0.50 0.75 1.00 f (xi ) 1.0000 1.2840 1.6487 2.1170 2.7183 解： 设二次拟合多项式为 解得 所以此组数据的二次最小二乘拟合多项式为 (1) 若题目中没有给出各点的权值 ?i ，默认为 ?i = 1 例 7.2，7.3，课后习题 1， 2 * 赋范线性空间 赋范线性空间 C[a, b] 线性空间 C[a, b] ，f(x)?C[a, b] 1-范数： 2-范数： ?-范数： * 逼近标准 度量 p(x) 与 f(x) 的近似程度的常用两种标准 使 尽可能地小。 使 尽可能地小。 一致逼近 平方逼近 * 函数逼近 记 Hn 为所有次数不超过 n 的多项式组成的集合，给定函数 f(x)?C[a, b]，若 P*(x)?Hn 使得 则称 P*(x) 为 f(x) 在 C[a, b] 上的 最佳逼近多项式 最佳逼近 最佳一致逼近 * 函数逼近 最小二乘拟合 寻找 P*(x) ，使得下面的离散 2-范数最小 给定 f(x)?C[a, b] 的数据表 x x0 x1 … xn y y0 y1 … yn 最佳平方逼近 * 正交多项式 定义 设 ?n(x) 是首项系数不为 0 的 n 次多项式，若 则称