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第4.6节 多元正态分布 一、密度函数与特征函数 二、独立性 三、线性变换 四、条件分布 作 业 一、密度函数与特征函数 二、独立性 三、线性变换 四、条件分布 1. 多元正态分布密度函数的向量形式 则n元正态分布的密度函数的向量形式为: 简记为 2. 多元正态分布密度函数的性质 第一个性质是显然的,以下给出第二个性质的证明。 由于矩阵B是正定对称阵,因而存在非奇异矩阵L使得 类似于一元函数定积分中的换元法,设线性变换 则线性变换的逆变换为 因此 由此可以得到性质2的结论. 3. 多元正态分布函数的特征函数 证明 由于 作线性变换 则 因而 4. 多元正态分布的推广形式 在上述讨论中,假定了矩阵B是正定。对于矩阵B 是非负定时,令 则此矩阵为正定矩阵,相应的特征函数为 令k??, 退化正态分布(奇异正态分布) 当协方差矩阵B的行列式detB=0时,正态分布N(a B)为退化正态分布 证明: 证明: 在定理4.6.2中,令子向量为一维向量时,则 由柯西-施瓦兹不等式可得其他各协方差存在。又因为 主要讨论多维正态分布的独立性与不相关性的关系 证明: 必要性是显然的. 即 因此 证明: 必要性: 充分性: 因此,由p233性质6可知,充分性成立. 证明: 必要性:?服从N(a,B),则其特征函数为 令t=ul, 其中u是任意实数,则 充分性: 令u=1, 则 由于向量l的任意性,由特征函数的唯一性可知 说明: 定理4.6.6的意义在于对于多维正态分布的研究可以 转化为利用一维正态分布相关性质加以研究. 证明: 对于任意m维实值列向量t 定理4.6.7表明,服从正态分布随机向量在线性变换下仍然服从正态分布,这个性质简称为正态变量的线性变换不变性. 证明: 对于实对称矩阵B,一定存在正交矩阵U,使得 说明: 对于多维正态变量,可以进行正交变换,使其既保持正态性,又让个分量独立,此方法主要应用于数理统计中的相关证明.
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