第4章离散随机信号的特征描述及其估计.ppt

第４章　离散随机信号的特征描述及其估计 4.1 引言 4.2 离散随机信号的特征描述 4.3 线性系统对平稳随机信号的响应 4.4 均值、方差、自相关函数的估计 4.1 引言 随机信号是一种非确定性的信号，如热噪声信号发生器 输出的电信号，飞行器起飞时的结构振动，以及起伏海面的 波动高度等。它们的共同特点是无法预测其未来瞬间的精确 值。处理的目的是便于从中提取有用的信息，削弱信号中的 多余信息量，便于估计信号的特征参数，或变换成易于分析 和识别的形式等。 随机信号处理的主要理论基础是信号检测理论、估计理 论和随机过程理论。根据理论分析，随机信号的不同样本函 数在同一时刻的值往往是不确定的，因而只能用样本函数集 的统计平均来描述，如用均值、均方值、方差、概率密度函 数、相关函数和功率谱密度函数来描述随机过程的特性。随 机信号处理就是利用信号的这些统计特征或信号本身导出一 套最佳的估计算法，然后利用软件或者硬件予以实现。下一 章所讲的维纳滤波器和卡尔曼滤波器就是根据最佳原理实现 的。 离散随机信号或序列，是指由随机变量按一定顺序排列 而成的时间序列，随机序列中的任何一个时间点上的取值都 是不能先验确定的随机变量。即离散随机信号可表示为 （4-1） 式中 为随机变量，它可以是有限维的 也可以是无限维的。产生这些随机变量的过程称为随机过 程，简记为 。 例如抛硬币就是一个随机过程，抛硬币的结果就是一个离 散随机序列。这个结果有两种状态，一种是正面朝上， 用 表示，另一种是反面朝上，用 表示。 连续抛掷，可以得到一个由+1和-1组成的序列如图4-1所 示。这个序列就是离散随机信号或序列。要注意的是如果重 新将抛掷硬币的过程进行一次，我们得到序列可能看起来与 图4-1所示的序列完全不同，所以我们每次得到的序列是这 个离散随机信号的一个样本序列。 4.2 离散随机信号的特征描述 4.2.1平稳随机过程和各态历经性 实际中的很多随机过程是属于平稳随机过程。设 是一 个平稳随机过程，则其随机序列在各点上的概率特性不随时 间平移而变化，而且是无始无终的。即随机变量 的概率 特性对于任何时刻 都是相同的， 对于一个无始无终的平稳随机信号，它的傅立叶变换是 不存在的，也就是说它的频谱是不存在的，我们只能求它的 功率谱。一个平稳随机信号的功率谱就是这个信号的自相关 函数的傅立叶变换。因此，我们就可用信号的功率谱来表征 它的谱特性。在本课程中我们所要讨论的随机序列都为平稳 随机序列。 4.2.2 各态历经性 随机过程的各个样本序列在某一时刻的各种平均特性， 称为集合平均。当样本数趋于无穷时，集合平均就趋于统计 平均；随即过程的某个样本序列在不同时刻的各种平均特 性，称为时间平均。 已知 时刻随机变量 的 个取值的集合平均为 （4-2） 已知随机信号的一个样本序列 ，则其时间平均为 （4-3） 如果一个随机信号的时间平均等于过程的集合平均，则称随 机过程是各态历经的或各态遍历的。具体地说，如果有 则称 为均值各态历经随机过程。 可见，对各态历经随机过程，可以用一个样本 序列的时间平均计算随机过程的集合平均。实际 上，对一个样本过程进行长时间统计比对许多样本 进行统计要容易实现。实际处理信号时，对已获得 的一个物理信号，先假设它是平稳的，再假设它是 各态历经的。对信号按此假设处理后，再用处理结 果来检验假设的正确性。各态历经的随机过程一定 是平稳随机过程，实际中常用的高斯白噪声，就是 平稳各态历经的。 4.2.3 离散随机信号的数字特征 一个离散随机序列在任何时间点上的取值（随机变量） 是不能先验确定的，但它一定具有一定的统计规律，可用其 统计平均特性来描述。例如抛硬币的所得到的离散序列，每 个时间点上的取值虽然不能预知，但我们知道取值出现+1 和-1的概率都为1/2。实际中要得知一个随机变量的概率分布 函数是比较困难的，我们