第7.3节估计量的评选标准——概率论与数理统计(李长青版).ppt

第三节 估计量的评价标准 平均数 方差 标准差 参数 ? ?2 ? 统计量 S2 S ? ? ? ? ? ? ? ? 总体 ? ? ? 样本 一、 无偏性 参数。于是有无偏估计量的概念. 在评价一个估计量的好坏时，我们当然希望估计 量与被估参数越接近越好。但估计量是一个随机变 量，它的取值随样本的观测值而变，有时与被估参数 的真值近些，有时远些，我们只能从平均意义上看 估计量是否与被估参数尽量接近，最好是等于被估 定义 1 例1 设总体 X 服从任意分布, 且 是取自该总体的样本. 证明样本均值 和样本方差 分别是μ和σ2 的无偏估计量. 证 由数学期望的性质知 设总体X的k阶矩E(Xk)存在, 证明样本的k阶矩是E(Xk)的无偏估计. 证 设总体的方差D(X)存在,试证样本二阶中心矩B2是总体方差D(X)的有偏估计. 证明 所以, B2是总体方差 D(X)的有偏估计. 注1: 注2：一个未知参数的无偏估计可能有多个, 仅有无 无偏性标准还不够。由于方差是随机变量取值与其数学期望的偏离程度的度量，所以无偏估计以方差小者为好。这就引出了估计量的有效性这一概念。 定义2 证明 由于总体服从泊松分布，故 于是有 同理 但是 例3 设(X1,X2, X3)是来自总体X的一个样本,证明下面的三个估计量都是总体均值E(X)的无偏估计量 证明 定义3 在未知参数θ的所有无偏估计量中, 如果估 计量 的方差 最小, 则称 为θ 的 的最小方差无偏估计量. 若总体 X 分布密度（或分布律）为 为总体 X 的一个样本, 为未知参数θ的一个无偏估计量, 则有 其中 称为Fisher信息量, 它的另一表 罗—克拉美(Rao—Cramer)不等式 达形式为 罗—克拉美不等式右端的项称为罗—克拉美下界. 如果参数 θ的一个估计量 满足 则称 为θ的最小方差无偏估计量. 例4 设总体 为取自总体 X 的 一个样本, 证明: 样本均值 是参数λ的最小方差无偏 估计量. 证 由已知可得 从而 又 X 的分布律为 所以 故有 由此知, 是未知参数λ的最小方差无偏估计量. 从而比更有效 由得 又由于 相互独立且都服从泊松分布 例2:设总体X服从参数为λ的泊松分布，是来自该总体X的一个样本，其中 证明：(1)和都是λ的无偏估计量; (2)比更有效. 所以和都是λ的无偏估计量. 一致估计量的意义在于：只要样本容量足够大，就可以使一致估计量与参数真实值之间的差异大于ε的概率足够地小，也就是估计量可以用任意接近于１的概率把参数真实值估计到任意的精度. 一致性是点估计的大样本性质，指的是：这种性质是针对样本容量而言，对于一个固定的样本容量n，一致性是无意义的. 与此相对，无偏性和有效性的概念是对固定的样本而言，不需要样本容量趋于无穷，这种性质也称为“小样本性质”.