第一章习题解析..ppt

* * (3) 证 解 设A={4只都不配对},则事件A发生就是从5双手套中取4双 ，再从每双中取一只，而这种取法每双都有2种可能性，因此 解 设甲、乙两船到达码头的时刻分别为 ，由题设有，又由题设知，若甲先到，乙应晚1小时到，即； 若乙先到，则甲应晚2小时，即，基本事件的集合由所围成的图形面积组成. 例6.3 将一幅扑克52张随机均匀分给四家，用A表示东家得到6张梅花，B表示西家得到3张梅花，求. 解 四家各有13张牌，已知A发生后，A的13张牌已固定. 余下的39张牌在另三家中的分派是等可能的. 由于余下的39张牌中恰有7张梅花，所以. 例6.4 设(,(, P)是概率空间，(，. 定义 ，( （6.2） 则也是可测空间（，( ）上的概率. 人们称为条件概率测度，简称为条件概率. 例6.6（官员受贿问题）某官员第1次受贿没被查处的概率是；第一次没被查处后，第2次受贿没被查处的概率是；…；前次没被查处后，第j次受贿不被查处的概率是. 求他受贿n次还不被查处的概率. 解 用表示该官员第j次受贿没被查处，则表示受贿n次还不被查处. 容易计算 上面当假设时，有，于是得到 ，，，，. 例7.6 每枚导弹击中飞机的概率是0.8，要以99%的把握击中飞机，需要几枚导弹. 解 用表示第i枚导弹击中目标. 设需要n枚导弹，则要求n满足 由解出. 于是取. 如果要以99%的把握保证击中飞机至少两次，需要的导弹数n应满足 （飞机被击中至少两次） （没被击中）（恰被击中一次） 用计算器可以算出. 例7.7 明青花（瓷）享有盛誉. 设一只青花盘在一年中被失手打破的概率是0.03. （1）计算一只弘治（1488-1505）时期的青花麒麟（图案）盘保留到现在（约500年）的概率； （2）如果弘治年间生产了1万只青花麒麟盘，计算这1万只至今都已经被失手打破的概率. 解 (1)用表示该盘在第i年没被打破，要求的概率是 被失手打破的概率是. （2）用表示第j只至今已被打破，，则 相互独立. 这1万只至今都已经被失手打破的概率是 有这类青花麒麟盘流传至今的概率是. 如果当时生产了50万只，则有这类青花麒麟盘流传至今的概率是 如果当时生产了500万只，则有这类青花麒麟盘流传至今的概率是. 设对一切，有，则有 （另证：） 例8.2（敏感问题调查）在调查家庭暴力（或服用兴奋剂、 吸毒等敏感问题）所占家庭的比例p时，被调查者往往不愿回答真相，这使得调查数据失真. 为得到实际的p同时又不侵犯个人隐私，调查人员将袋中放入比例是的红球和比例是的白球. 被调查者在袋中任取一球窥视后放回，并承诺取得红球就讲真话，取得白球就讲假话. 被调查者只需在匿名调查表中选“是”（有家庭暴力）或“否”，然后将表放入投票箱. 没人能知道被调查者是否讲真话和回答的是什么. 如果声称有家庭暴力的家庭比例是，求p. 解 对任选的一个家庭，用B表示回答“是”，用A表示实际“是”. 利用全概率公式得到 于是只要，则 实际问题中，是未知的，需要经过调查得到. 假定调查了n个家庭，其中有k个家庭回答“是”，则可以用估计，于是可以用 估计p. 如果袋中装30个红球，50个白球，调查了320个家庭，其中有195个家庭回答“是”，则 ，， ， 以后证明越大，得到的结论越可靠（见§4.3例3.7）. 但是越大，调查方案越不易被调查者接受. 第一章 习题解析 7.证明下列关于事件的等式. （1） 证 (2) 证 9. 设，为三个事件，且，，，求至少有一个发生的概率. 解 10. 设为两个事件，且，求. 解 所以 12. 1