第一章大学数学概率统计习题课.ppt

例 若在区间（0,1）上随机地取两个数u，v，则关于x 的一元二次方程x2-2vx+u=0有实数根的概率。 解：0＜u ＜1， 0＜v ＜1 由△=4v2-4u＞0得u ＜ v2， 样本空间是边长等于1的正方 形，有利的事件A的区域为图 中的阴影部分 例 某射手的命中率为P(0＜P ＜1)，该射手连续射击n次才命中k次（k≤n）的概率（ ） 5.设A、B、C是随机事件，A、C互不相容，P（AB）=1/2， P（C）=1/3，则 [ ] 制作叶鹏 制作叶鹏 制作叶鹏 制作叶鹏 制作叶鹏 制作叶鹏 制作叶鹏 * 随机事件及其概率 习题课 概率论与数理统计 第一章 题型一 古典概型与几何概型 解题提示：首先要正确判断概型，其次弄清样本空间及有利事件的结构，再按相应的概率计算公式进行计算。 例1 袋中有9个球，4个白球5个黑球，现从中任取2个，求: (1) 2个均为白球的概率； （2）2个球一个是白球，另一个是黑球的概率； （3）至少有一个黑球的概率。 * 解： * 例2 在长度为a的线段内任取2点将其分为3段，求它们可以构成一个三角形的概率。 解：设线段被分成的3段长分别为x，y和a-x-y，则样本空间为x≥0， y ≥0， x+y ≤a所构成的图形，其面积S△AOB =0.5a2,有利于事件A（即x，y，a-x-y三段构成三角形 ）的基本事件集：由线段x，y，a-x-y所围成的三角形，其面积记为S△DCE。 由三角形2边之和大于第三边，2边之差小于第三边得 0 ≤x ≤0.5a, 0 ≤y ≤0.5a, 0 ≤a-x-y ≤0.5a 即0 ≤x ≤0.5a, 0 ≤y ≤0.5a， 0.5a ≤x+y ≤a(它们构成△DCE)，于是由几何概型的计算公式 * B(a,0) A(0,a) O D(0.5a,0) E C (0,0.5a) D‘ * 题型2 事件的关系和概率性质的命题 解题提示：这类问题多以填空、选择的形式出现，只要充分利用事件的关系、运算律和概率的基本性质很容易求解。 例３ 设2个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则P(A)=[ ] 例4 * 题型三 条件概率与积事件概率的计算 解题提示：正确理解两种概率是求解的关键。对于具体问题可以从以下两个方面进行判断 （1）从样本空间讲，积事件概率P(AB)是在原样本空间考虑，条件概率Ｐ（Ａ／Ｂ）是在一个缩小的样本空间考虑； （2）积事件概率P(AB)指Ａ，Ｂ同时发生的概率，而Ｐ（Ａ／Ｂ）指已知Ａ发生的条件下Ｂ发生的条件概率，故此时Ａ，Ｂ在时间上一定有先后关系。 * 例４　　甲乙两班共有７０名同学，其中女生４０名，设甲班有３０名同学，而女生１５名，问在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率。 * 题型四　全概率公式与Ｂａｙｅｓ公式的命题 解题提示：全概率公式是计算复杂时间概率的一个有效公式，而复杂时间是由若干“原因”引起的；Ｂｅｙｅｓ公式是用来计算复杂事件已发生的条件下，某一种“原因”发生的条件概率。 题型五　有关贝努力概型的命题 解题提示：若试验可以看成或分解成独立重复进行的试验，且每次试验的结果只需考虑两个试验结果：发生、不发生，该试验就是一个贝努力试验。计算公式是 Ｐ（Ａ）＝ * 近几年的研究生考试题 １．（２００９年）设事件Ａ与Ｂ互不相容，则 　 答案：Ｄ * ２．（２００７年）在区间（０,１）中随机地取两个数，则两数之差的绝对值小于０．５的概率为 【　　】 答案：０．７５ 3.随机地向半圆0＜y＜ 内掷一个点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x轴的夹角小于π/4的概率[ ] * 4．（２００７年）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为ｐ，则此人第４次射击恰好第２次命中目标的概率为 *