第一章常用数值分析方法§1非线性方程求根.ppt

第章 第一章 材料科学研究中的常用数值分析方法 主 要 内 容 §1 非线性方程求解 1.1 非线性方程求解概述 非线性方程求解概述(续） 求方程根近似解的几个问题： 求根的隔离区间的两种方法 1.2 对分法 （二分法） 对分法（续） 对分法的误差估计 对分法举例 对分法的优缺点 1.3 迭代法 迭代法的基本思想 迭代法举例 例4（续） 迭代法举例（续） 迭代法的几何含义 迭代法的几何含义（续） 迭代法的收敛条件（三大定理） 两个重要误差公式 两个重要误差公式（续） 迭代法的收敛条件 (之二) 定理2.2应用举例 定理2.2应用举例（续） 迭代法的收敛条件 (之三) 1.4 Newton法 Newton法（续） Newton法的几何意义 Newton法举例 Newton法收敛定理 Newton法的优缺点 1.5 弦截法 弦截法迭代公式的几何解释 弦截法的几点说明 弦截法的几点说明 (续） 弦截法举例 表1-3 定理1.3强调迭代初值x0应取在根x*的邻域中。如果对任意给定的x0，迭代格式均收敛，则称此格式具有全局收敛性，但这样的格式是极其稀少的。如果对根x*的某邻域内的任一点x0，迭代格式均收敛，则此格式具有局部收敛性。 即可保证对其中任取的一点x0迭代收敛。事实上，在用迭代法求解方程（1-1）时，常常先用对分区间求得较好的初值，然后再进行迭代。 本定理给出的就是局部收敛性条件。具体解题时，虽然无法判别隔根区间是否为以x*为中心的邻域，但只要它足够小，且在邻域中满足： 定理1.3（续） 将非线性方程线性化，以线性方程的解逐步逼近非线性方程的解，这就是Newton法的基本思想。 设已知方程f (x) = 0的近似根x0，f (x)在其零点x*邻近一阶连续可微， 且 f ?(x) ? 0，当 x0充分接近 x*时，f (x)可用Taylor公式近似表示为 ： 则方程f (x) = 0可用线性方程近似代替，即： 解此线性方程得： 取此x作为原方程的新近似值x1，重复以上步骤， 于是得迭代公式： 按式（1-6）求方程f (x) = 0近似解称为Newton法。 如此继续下去，xn+1为曲线上点(xn, f (xn))处的切线与x轴的交点。因此Newton法是用曲线的切线与x轴的交点作为曲线与x轴交点的近似，故Newton法又称为切线法。 X x* x2 x1 x0 Y 图1-4 Newton迭代法有 着明显的几何意 义, 如图1-4所示: 过点(x0,f (x0))作曲线y = f (x)的切线，切线方程为： y = f (x0) + f ?(x) (x?x0) 该切线与x轴的交点的横坐标即为新的近似值x1，而x2则是曲线上点(x1, f (x1))处的切线与x轴的交点。 例7 解： 因为f ?(x) =3x2+10，故Newton迭代公式为： x1 = 1.5970149，x2 = 1.5945637， x3 = 1.5945621 = x4迭代三次所得近似解就准确到8位有效数字。 代入初值x0得： 可见Newton法收敛很快。 一般地，有如下屏定理1.4： 定理1.4 设函数f (x)在其零点x*邻近二阶连续可微，且f ? (x*) ? 0，则存在? 0，使得对任意x0?[x*??, x* + ?]，Newton法所产生的序列{xn}至少二阶收敛于x*。 定理1.4表明，当初值x0充分接近x*时，Newton法的收敛速度较快，但当初值不够好时，可能会不收敛或收敛于别的根，这可从Newton法的几何意义看到： 注：Newton’s Method 收敛性依赖于x0 的选取。 x* x0 ? x0 ? x0 优点：Newton法具有收敛快，稳定性好，精度高等优点，它是求解非线性方程的有效方法之一。 缺点：每次迭代均需要计算函数值与导数值，故计算量较大。而且当导数值提供有困难时，Newton法无法进行。 不 足 之 处：需要计算导数值，较难； ——这就是弦截法迭代公式 Newton法优点：收敛快（平方阶），固定格式； 修 正：以差商代替导数（微商） 与x轴相交， 即y = 0， 解出x得： 即以割线代替曲线f (x)，以割线与x轴的交点去近似曲线与x轴的交点，又称为割线法