第一章第1节直角三角形的性质和判定(Ι)(共26张).ppt

直 角 三 角 形 本章内容 第1章 直角三角形的性质 和判定（Ι） 本课内容 本节内容 1.1 在前面，我们已经学习了三角形边与边，边与角，角与角之间的一些性质，直角三角形作为一种特殊的三角形，除了具有一般三角形的性质外，它还具有哪些特殊性质呢？ 如图1-1，在Rt△ABC中， ∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？ 说一说 图1-1 在Rt△ABC中，因为 ∠C=90°，由三角形内角和定理，可得∠A +∠B=90°. 结论 直角三角形的两个锐角互余. 由此得到： 议一议 议一议 议一议 议一议 议一议 议一议 有两个锐角互余的三角形是直角三角形吗？ 如图1-2，在△ABC中， ∠A +∠B=90° ， 那么△ABC 是直角三角形吗？ 在△ABC中，因为 ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是△ABC是直角三角形. 图1-2 结论 有两个角互余的三角形是直角三角形. 由此得到： 探究 如图1-3，画一个Rt△ABC， 并作出斜边AB上的中线CD，比较线段CD 与线段AB 之间的数量关系，你能得出什么结论？ 图1-3 我测量后发现CD = AB. 线段CD 比线段AB短. 图1-3 是否对于任意一个Rt△ABC，都有 CD = 成立呢？ 图1-4 如图1-3， 如果中线CD = AB，则有∠DCA = ∠A . 由此受到启发，在图1-4 的Rt△ABC中，过直角顶点C作射线 交AB于 ，使 ， ∠ = ∠A 则 . 图1-3 ∠A +∠B=90° ， 又∵ ， ∴ ∴ 故得 ∴ 点 是斜边上的中点，即 是斜边 的中线. 从而 CD与 重合，且 图1-4 结论 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 由此得到： 举 例 例1 已知：如图1-5，CD是△ABC的AB边上的中 线，且 . 求证：△ABC是直角三角形. 图1-5 证明： 因为 ， 所以 ∠1=∠A，(等边对等角) ∠2=∠B . 图1-5 根据三角形内角和性质，有 ∠A+∠B+∠ACB =180°， 即得∠A+∠B+∠1+∠2=180°， 2(∠A+∠B)=180°. 所以 ∠A+∠B =90°. 根据直角三角形判定定理，所以△ABC是直角三角形. 练习 1.在Rt△ABC中，斜边上的中线CD=2.5cm ，则斜边 AB的长是多少？ 解 AB=2CD=2×2.5=5(cm). 2.如图，AB∥CD，∠BAC和∠ACD的平分线相交于H点，E为AC的中点，EH=2. 那么△AHC是直角三角形吗？为什么？若是，求出AC的长. 解 因为 AB∥CD，所以 ∠BAC+∠DCA=180°. 又 ， ， 所以 所以△AHC是直角三角形. 在Rt△AHC中，EH为斜边上的中线， 所以有 ， 由EH=2易知AC=4. 　　如图1-6，在Rt△ABC中，∠BCA=90°， 如果∠A=30°，那么直角边BC与斜边AB 有什么关系呢? 动脑筋 图1-6 如图1-6，取线段AB的中点D，连接CD. ∴ △BDC为等边三角形. ∴ ∠B=60°. 图1-6 ∵ CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴ ∵ ∠BCA=90°，且∠A=30°， ∴ 在直角三角形中，如 果一个锐角等于30°，那 么它所对的直角边等于斜 边的一半. 如图1-7，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，如果 ，那么∠A=30°吗？ 动脑筋 图1-7 如图1-7，取线段AB的中点D，连结CD， 即CD为Rt△ABC斜边上的中线， 则有 又已知 ， 所以CD=BD=BC，即△BDC为等边三角形. 所以∠B=60°. 所以∠A=30°. 又∠A+∠B=90°， 图1-7