第一节平面及其基本性质.ppt

一、空间概念 空间图形是由空间的点、线、面所构成，这些图形上的点不完全在同一平面内，例如：桌子、书、粉笔、螺母等物体，以及我们所熟悉的长方体、圆柱、圆锥等几何图形，这些都属于空间图形，平面图形是空间图形的一部分。 从集合观点看，空间图形是满足某种条件的空间点的集合。 什么是空间图形？ 象这些桌面、平静的湖面、镜面、黑板面等都给我们以____的局部形象 1.平面的概念： 　　光滑的桌面、平静的湖面等都是我们很熟悉. 2.平面的特征： 　　平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延展的。 数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果。 平面 黑板面是平面 （×） A D C B 平面α 、平面AC 二.平面的表示方法 1.图形语言：通常用平行四边形来表示平面． 2.符号语言：通常用希腊字母 等来表示，如：平面 也可用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如：平面AC． 直立平面 水平平面 注意： (1) 当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45°，横边画成邻边长的2倍。 （2）画直立平面时，要有一组对边为竖直。 一般用水平放置的正方形的直观图作为水平放置的平面的直观图 β （3）相交两平面： 补充：用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系： A B a 点A在直线a上： 记为：A∈a 点B不在直线a上： 记为：B∈a 　点A在平面α内： 记为：A∈α 点B不在平面α上： 记为：B∈ α A α (1)点与直线的位置关系： (2)点与平面的位置关系： B 文字叙述 图形表示 符号表示 直线l在平 面α内 直线l在平 面α外 直线l1 l2交于点Ｐ 平面α 、 ?相交于直线 l l α l α l α l1 P l2 桌面α A B 观察下列问题，你能得到什么结论？ 三.平面的基本性质 1．公理1： ①文字语言：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内 ； ②图形语言： ③符号语言：A∈l；B∈l，A∈α，B∈α AB α. l 练习： （1） 。 （2） 。 公理1的作用有两个：（1）作为判断和证明直线是否在平面内的依据，即只需要看直线上是否有两个点在平面内就可以了； （2）公理1可以用来检验某一个面是否为平面，检验的方法为：把一条直线在面内旋转，固定两个点在面内后，如果其他点也在面内，则该面为平面。 　　将一把直尺置于桌面上，通过是否漏光 就能检查桌面是否平整． 3．公理2： ①文字语言：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，也可以说成不共线的三点确定一个平面。 ②图形语言： ③符号语言：A、B、C三点不共线，有且只有一个平面α，使得A∈α，B∈α， C∈α. C 如何理解公理2？ (1) 公理2是确定平面的条件，也是证明两个平面重合的依据. (2) 确定平面的条件是将空间图形问题转化为平面图形问题来解决的重要依据，也为证明直线共面问题提供了依据. (3) 深刻理解“有且只有”的含义，这里的“有”是说平面存在，“只有”是说平面惟一，“有且只有”强调平面存在并且惟一这两方面. P α β a 观察下列问题，你能得到什么结论？ P 天花板α 墙面β 墙面γ 2. 公理3： ①文字语言：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线. ②图形语言： ③符号语言： . 如何理解公理3？ (1) 公理3反映了平面与平面的位置关系，只要“两面共一点”，就有“两面共一线，且过这一点，线惟一”. (2) 从集合的角度看，对于不重合的两个平面，只要他们有公共点，它们就是相交的位置关系，交集是一条直线. (3) 公理3的作用: 其一判定两个平面是否相交; 其二可以判定点在直线上. 点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这点在线上. 因此它还是证明点共线或线共点，并且作为画截面的依据. α A C B 观察下列问题，你能得到什么结论？ B C A 六. 平面基本性质的推论 文字语言 ：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面. 图形语言： 符号语言： a与A共属于平面α且平面α惟一 . （1）推论1： a是任意一条直线 点A a （2）推论2： 文字语言 :经过两条相交直线，有且只有一个平面. 图形语言： 符号语言： a，b共面于平面α，且α是惟一的 . b是任意一条直线 a是任意一条直线 a∩b=A A （3）推论3： 文字语言 :经过两条平行直线，有且只有