与绝对值相关的竞赛题.pdf

2 中等数学 ●数学活动课程讲座● 与绝对值相关的竞赛题 刘清泉 (浙江省宁波市镇海蚊川书院，315200) 中图分类号：0122．1文献标识码：A 文章编号：1005—6416(2010)06一O002—04 (本讲适合初中) —6，一7共七次．所以，亮红灯七次． 绝对值是初中代数中的一个基本概念， (2)事实上，电子跳蚤跳完第四次的位 又是初中数学竞赛中的一个重要概念．在解 置是原点，已经亮了四次红灯(包括起跳 决代数式化简求值、方程(组)、不等式(组) 时)，后面是每次跳奇数步，亮红灯一次．所 和函数最值等问题中有着广泛的应用．利用 以，要使红灯亮十次，则电子跳蚤得跳4+ 绝对值概念在解题过程中常会涉及到分类讨 2×6一l=15次，此时，电子跳蚤离原点的 论、化归及数形结合等数学思想． 距离 S=l一2一l+2—3+4—5+…一15I 1与求值、化简相关 =I一2+lX7—15I=10． 例l有一个电子跳蚤在数轴上跳来跳 例2将l，2，…，200这200个数任意分 去，并且跳到负数亮一次红灯，跳到正数不亮 为两组，每组100个数．将一组按由小到大的 灯．起点是在表示数一2的点(记亮一次红 顺序排列(记为口．口2…口啪)，另一组 灯)，第一步向左跳1个长度单位，第二步向 按由大到小的顺序排列(记为b，b：… 右跳2个长度单位，第三步向左跳3个长度 b．∞)．试求 单位，第四步向右跳4个长度单位，依此 I口I—bII+I口2一b2I+…+I。l∞一bI∞I 类推． 的值． (1)当跳到第十步时，电子跳蚤离原点 【分析】要求 的距离是多少?亮了几次红灯? I口I—bIl+Ia2一b2I+…+I口l∞一bl∞I (2)若要使电子跳蚤亮十次红灯，则电 的值，就要用到去绝对值的符号法则，就要判 子跳蚤至少需要跳几次?此时，离原点的距 定代数式的任何一项I口I—b‘I(k=l，2，…， 离是多少? 100)中的口I、b‘的大小． 解先证明：对于代数式的任何一项 【分析】从数轴上看，l口I表示数口的点 I口I一6^f(||}=l，2，…，100) 到原点的距离，亮红灯的次数是由电子跳蚤 中的口。、b^，较大的数一定大于100，较小的 每次跳的结果出现负数的次数决定(出发点 数一定不大于100． 按约定记亮一次红灯)． (1)若吼≤100，且bI≤100，则由 解(1)注意到 口ln2…口^≤100 S=I一2一l+2—3+4—5+…一9+10I 及 100≥6Ib“l…b啪 X5 =I一2+lI=3． 得口I，口2，…，aI，b‘，b川，…，bl∞共101个数