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第三章 多维随机变量及其分布 关键词： 二维随机变量 (联合)分布函数 (联合)分布律 (联合)概率密度 边缘分布函数 边缘分布律 边缘概率密度 条件分布函数 条件分布律 条件概率密度 随机变量的独立性 Z=X+Y的概率密度 M=max(X,Y)的概率密度 N=min(X,Y)的概率密度 §1 二维随机变量 为什么要研究二维随机变量？ 研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身高H的分布或仅研究体重W的分布是不够的。需要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一样本空间{儿童}的两个随机变量。 研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹的弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定，而它们是定义在同一样本空间的两个随机变量。 定义：设E是一个随机试验，样本空间S={e}； 设X=X(e)和Y=Y(e)是定义 在S上的随机变量，由它们构成的 向量(X,Y)叫做二维随机向量 或二维随机变量。 分布函数 的性质 二维离散型随机变量 定义：若二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不同值是有 限对或可列无限对，则称(X,Y)是离散型随机变量。 分布律的性质 例1：设随机变量X在1、2、3、4四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量Y在1~X中等可能地取一整数值，试求(X,Y)的联合概率分布。 二维连续型随机变量 例2：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度： 例3：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度 (1) 求常数k；(2) 求概率 解： §2 边缘分布 二维随机变量(X,Y)作为整体，有分布函数 F(x,y), 其中X和Y都 是随机变量，它们的分布函数 分别称为随机变量 (X,Y）关于X和Y的边缘分布函数，其中： 对于离散型随机变量(X,Y)，分布律为 对于连续型随机变量(X,Y)，概率密度为 例2：(X,Y)的联合分布律为 求：(1)a,b的值； (2)X,Y的边缘分布律； (3) 例3：设G是平面上的有界区域，其面积为A，若二维随机 变量(X,Y)具有概率密度 则称(X,Y)在 G上服从均匀分布。 现设(X,Y)在有界区域 上均匀分布，其概率密度 为 求边缘概率密度 解： §3 条件分布 正如对两事件A,B，若 可以考虑条件概率 一样，对二维离散型随机变量(X,Y)，其分布律 若 我们也可以考虑条件概率 定义：设(X,Y)是二维离散型随机变量， 对于固定的yj， 例1：盒子里装有3只黑球，4只红球，3只白球，在其中任取2球，以X表示取到黑球的数目，Y表示取到红球的只数。求 （1）X，Y的联合分布率与边缘分布率； （2）X=1时Y的条件分布率； (3) Y=0时X的条件分布率。 故在X=1的条件下，Y的分布律为： 定义：条件分布函数 定义：条件概率密度 例2：设二维随机变量(X,Y)在区域{(x,y): ?|y|x1} 内均匀分布，求条件概率密度 §4 相互独立的随机变量 例1： (X,Y)具有概率密度 一般n维随机变量的一些概念和结果(一般了解即可) 边缘分布 如： 相互独立 §5 两个随机变量的函数的分布 例1：设X和Y是相互独立的标准正态随机变量，求 的概率密度。 例2：X,Y相互独立，同时服从[0,1]上的均匀分布， 求 的概率密度。 推广到n个相互独立的随机变量的情况 设X1,X2,…,Xn是n个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为： 则： 例：系统由2个独立的子系统组成，分别用变量X、Y表示2个子系统工作寿命，已知 分别求当X、Y的组成方式为串联、并联和备用时，整个系统的工作寿命Z的概率密度函数。 本章重点总结 二维随机变量的三个分布 联合分布、边缘分布、条件分布 注意三者之间的关系 特别要掌握通过二元积分求联合分布函数的计算 随机变量的独立性 Z=X+Y,Z=max(X,Y), Z=min(X,Y) 正态分布： 解：由卷积公式： 正态分布： 一般：设X,Y相互独立， ~ ~ ~ ~ x x=z z 1 2 0 x=z-1 解：根据卷积公式： 易知仅当 参考图得： X Y X Y X Y 串