高中数学竞赛辅导讲义 第五章 数列【讲义】.pdf

五章 数列 一、基础知识 定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2 ，3，…，n ，…. 数 列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a }的一般形式通常记作a , a , n 1 2 a ,…，a 或a , a , a ,…，a …。其中a 叫做数列的首项，a 是关于n 3 n 1 2 3 n 1 n 的具体表达式，称为数列的通项。 定理1 若S 表示{a }的前n 项和，则S =a , 当n1 时，a =S -S . n n 1 1 n n n-1 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a -a =d （常数）， n+1 n 则{a }称为等差数列，d 叫做公差。若三个数a, b, c 成等差数列，即 n 2b=a+c，则称b 为a 和c 的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式a =a +(n-1)d ；2 ）前n 项和 n 1 n a + a 公式：S = ( 1 n ) = na + n(n - 1) d ；3 ）a -a =(n-m)d，其中n, m 为正 n 1 n m 2 2 整数；4 ）若n+m=p +q ，则a +a =a +a ；5 ）对任意正整数p , q ，恒 n m p q 有a -a =(p -q)(a -a ) ；6 ）若A ，B 至少有一个不为零，则{a }是等差 p q 2 1 n 2 数列的充要条件是Sn=An +Bn . a 定义3 等比数列，若对任意的正整数n ，都有 n+1 = q ，则{a }称为 n a n 等比数列，q 叫做公比。 定理3 等比数列的性质：1）a =a qn-1 ；2 ）前n 项和S ，当q 1 时， n 1 n S = a1 (1- q n ) ；当q=1 时，S =na ；3 ）如果a, b, c 成等比数列，即 n n 1 1- q 2 b =ac(b 0)，则b 叫做a, c 的等比中项；4 ）若m+n=p +q ，则a a =a a 。