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第三章 抽样分布 生物统计学的最基本问题 生物统计学的最基本问题是研究总体与样本间的关系。总体有两类：一是由实际研究对象构成的总体；二是数字的总体。前者可转化为后者。生物统计研究的是数字总体。 总体与样本之间的关系，有以下两个途径： 总体已知，研究样本的分布规律，即由总体到样本； 总体未知，由样本推断，即由样本到总体。 本章研究的是第一个问题：即从总体到样本的研究过程。 4.1 从一个正态总体中抽取的样本统计量的分布 抽样分布：从一个已知的总体中，独立随机的抽取含量为n的样本，研究所得的样本的各种统计量的概率分布。 如样本平均数的抽样分布即为（ X, P(X) ） 组合 一、 样本平均数的分布 1、总体标准差已知时，样本平均数的分布服从u 分布（正态分布） 从平均数为μ，标准差为σ的正态总体中，独立随机地抽取含量为n的样本，则 由此可知，样本平均数是一服从正态分布的随机变量，记为 将平均数标准化，则 ，其中标准化的分母为平均数的标准误。 例1：在总体X~N(80,202)中随机地抽取一容量为100的样本，问样本均值与总体均值的差的绝对值大于3的概率是多少？ 解：设W是样本均值变量，因总体服从正态分布，所以W~N(μ，σ2/n) 例2：在总体X~N(μ,0.5)中要以99.7％的概率保证偏差∣X －μ∣0.1，问抽取的样本其容量n应取多大？ 解：P {∣ X －μ∣0.1｝= 0.997 二、总体标准差未知时，样本平均数的分布服从t分布 σ未知时可用样本标准差s代替，标准化变量并不服从正态分布，而服从具n-1自由度的 t 分布 ，其分母为样本标准误差。 自由度：独立观测值的个数。在这里因为计算s时所使用的n个观测值，受到平均数x的约束,这就等于有一个观测值不能独立取值，因此自由度 df =n-1。 t 分布的密度函数：（不要求掌握） t 分布的特征数： 自由度 (df) Degrees of Freedom t 分布曲线 t分布受自由度的制约，每一个自由度都有一条t分布密度曲线。 t分布密度曲线以纵轴为对称轴，左右对称，且在t＝0时，分布密度函数取得最大值。 与标准正态分布曲线相比，t分布曲线顶部略低，两尾部稍高而平。df 越小这种趋势越明显。df 越大，t分布越趋近于标准正态分布。 t 分布的单侧分位数与双侧分位数的查表方法（附表4）与正态分布表的查法一致，表示方式也与u分布相同。 右边阴影的面积＝0.05 t1 =1.83 全部阴影的面积＝0.05 t1 =2.26 全部非阴影面积＝0.99 t1 =3.25 左边阴影的面积＝0.01 t1 =2.82 左边的总面积 ＝0.90 t1 =1.38 二、 样本方差s2的分布——χ2分布 从方差为σ2的正态总体中，随机抽取含量为n的样本，可计算出样本方差s2。在讨论样本方差s2的分布时，通常并不直接谈s2的分布，而是将它标准化，得到一个不带任何单位的纯数。该纯数服从n-1自由度的卡方分布。 卡方值：χ2df=(n-1) s2 /σ2 χ2分布是概率曲线随自由度而改变的一类分布（其密度函数较复杂 ，不要求掌握） χ2分布曲线： χ2分布是连续型变量的分布，每个不同的自由度都有一个相应的χ 2分布曲线； 对于较小的自由度，其分布曲线明显右倾，df＝1时曲线以纵轴为渐近线； 随着自由度的增加，其偏斜度和峭度接近于0，这时的分布近似于正态分布。 样本方差（卡方）分布的几个特征数： χ 2分布查表方法 χ 2分布的上侧和下侧分位点见下图。 根据（df，α）查χ 2分布的上侧分位数。 （附表6） 若查下侧分位数，只要查出1-α时的分位数即可。 4.2 从两个正态分布总体中抽取的样本统计量的分布 假定有两个正态总体，分别具有(μ1，σ1)和(μ2，σ2)。从第一个总体中随机抽取含量为n1的样本，并独立地从第二个总体中抽取含量为n2的样本。求出x1,s1和x2,s2。下面我们研究x1±x2的分布。 标准化( )后的变量服从标准的正态分布，这样可以推断在标准差已知时，两个样本平均数的差异是否显著。 二、总体标准差未知但相等时,两个样本平均数和与差的分布---t分布 当σ1和 σ2未知时，可用 s1和s2 代替； 若两个总体相互独立且都是正态分布的，同时σ1=σ2，则变量服从自由度为df1+df2的 t分布。 根据df 值和α值可查出t值（附表4），用于统计推断。 三、两个样本方差比的分布—F分布 从两个正态总体中抽出含量分别为n1和n2的样本，求出各自的样本方差。标准化后的样本方差之比称为F，其分布服从F分布（由两个样本的自