第三章时间序列分析.ppt

第一节 线性差分方程 一、后移算子B定义为 三、? 齐次方程解的计算 1、AR(p)过程自相关函数ACF 1阶自回归模型AR(1) Xt=?Xt-1+ ?t 的k阶滞后自协方差为： Xt=?1Xt-1+ ?2Xt-2 + ?t 该模型的方差?0以及滞后1期与2期的自协方差?1, ?2分别为 一般地，p阶自回归模型AR(p) Xt=?1Xt-1+ ?2Xt-2 +… ?pXt-p + ?t 其中：1/zi是AR(p)特征方程?(z)=0的特征根，由AR(p)平稳的条件知，|zi|1; 因此，当1/zi均为实数根时，?k呈几何型衰减（单调或振荡）； 当存在虚数根时，则一对共扼复根构成通解中的一个阻尼正弦波项， ?k呈正弦波衰减。 对MA(1)过程 其自协方差系数为 二、偏自相关函数 从Xt中去掉Xt-1的影响，则只剩下随机扰动项?t，显然它与Xt-2无关，因此我们说Xt与Xt-2的偏自相关系数为零，记为 MA(1)过程可以等价地写成?t关于无穷序列Xt，Xt-1，…的线性组合的形式： 与MA(1)相仿，可以验证MA(q)过程的偏自相关函数是非截尾但趋于零的。 ARMA(p,q)的自相关函数，可以看作MA(q)的自相关函数和AR(p)的自相关函数的混合物。 当p=0时，它具有截尾性质； 当q=0时，它具有拖尾性质； 当p、q都不为0时，它具有拖尾性质 从识别上看，通常： ARMA(p，q)过程的偏自相关函数（PACF）可能在p阶滞后前有几项明显的尖柱（spikes），但从p阶滞后项开始逐渐趋向于零； 而它的自相关函数（ACF）则是在q阶滞后前有几项明显的尖柱，从q阶滞后项开始逐渐趋向于零。 * ，从而 前面的MA(m)模型、AR(n)模型和ARMA(n,m)模型可分别表示为： 其中： 二、线性差分方程 差分方程的通解为： 可将写成 这里 这里，C (t)是齐次方程通解解，I(t) 是特解 。 假定G1，G2，…，Gn是互不相同，则在时刻t的通解： 其中Ai为常数（可由初始条件确定）。 无重根 考虑齐次差分方程 重根 设 有d个相等的根 ，可验证通解为 对一般情形， 因此，齐次方程解是由衰减指数项Gt、多项式tj、衰减正弦项Dt-ksin(2πf0t+F)，以及这些函数的组合混合生成的。 齐次方程解便是 定义：设零均值平稳序列 第二节 格林函数(Green’s function)和平稳性(Stationarity) 一、格林函数(Green’s function) 能够表示为 则称上式为平稳序列 的传递形式，式中的加权系数 称为格林（Green）函数，其中 格林函数的含义：格林函数是描述系统记忆扰动程度的函数。 （1）式可以记为 其中 式（1）表明具有传递形式的平稳序列可以由现在时刻以前的白噪声通过系统“ ”的作用而生成， 是j个单位时间以前加入系统的干扰项 对现实响应的权，亦即系统对 的“记忆”。 一、AR（1）系统的格林函数 由AR（1）模型 即： 则AR(1)模型的格林函数 例：下面是参数分别为0.9、0.1和-0.9的AR（1）系统对 扰动的记忆情况 。（演示试验） AR（n）模型，即 其中： 的平稳性条件为： 的根在单位圆外 （或 的根在单位圆内）。 AR（n）系统的平稳性条件： （请同学们观察平稳性AR(n)与非平稳性AR(n)的区别。） 格林函数与AR（n）系统的平稳性 平稳性的涵义就是干扰项对系统的影响逐渐减弱，直到消失，对于一个AR（n）系统，将其写成格林函数的表示形式， 如果系统是平稳的，则预示随着j→∞，扰动的权数 上面结论也可以用来求AR(n)系统的系数平稳性条件。 请同学们思考MA(m)系统的平稳性条件。 ARMA模型格林函数的通用解法 ARMA(n,m)模型 且 则 令 则 化为 比较等式两边B的同次幂的系数，可得 由上式，格林函数可从 开始依次递推算出。 例：求AR(2,1)系统的格林函数。 是零均值平稳序列，如果白噪声序列 第三节 逆函数和可逆性（Invertibility） 能够表示为 一、逆函数的定义 设 则称上式为平稳序列 式中的加权系数 称为逆函数。 ARMA（n,m）模型逆函数通用解法 对于ARMA（n,m）模型的逆函数求解模型格林函数求解方法相同。 令 二、ARMA模型的逆函数 的逆转形