第三章贝叶斯估计.ppt

第三章 贝叶斯估计 §3.1贝叶斯推断方法 一 、统计推断中可用的三种信息 二、贝叶斯公式的密度函数形式 三、 常用的一些共轭先验分布 四、贝叶斯推断（估计） Ⅰ条件方法 Ⅱ估计 表3.1 不合格率 的二种贝叶斯估计的比较 3.区间估计(可信区间) §3.2 贝叶斯决策方法 一、决策的基本概念 二、决策的三要素 三、损失函数 1、从收益到损失 2、损失函数 3、损失函数下的悲观准则 4、常用损失函数 四、贝叶斯决策问题 1、后验风险函数 2、决策函数 3、后验风险准则 4、平方损失函数下的贝叶斯估计 2.在经典统计中寻求置信区间有时是困难的,因为它要设法构造一个枢轴量,使它的分布不含未知参数,这是一项技术性很强的工作.相比之下可信区间只要利用后验分布,不需要再去寻求另外的分布, 可信区间的寻求要简单得多. 例3 设 是来自正态总体 的一个样本观察值,其中 已知, 若正态均值的先验分布取为 ,其中 与 已知,则可求得 的后验分布为 ,由此获得 的 可信区间 EX1 设随机变量X的密度函数为 (1)假如θ的先验分布为U(0,1),求θ的后验分布. (2)假如θ的先验分布为 求θ的后验分布及后验期望估计。 EX2 对正态分布N(θ,1)观察,获得三个观察值 若θ的先验分布为N(3,1),求θ的0.95可信区间 [2.02,3.98] 决策就是对一件事作决定。它与推断的差别在于是否涉及后果。统计学家在作推断时是按统计理论进行的，但很少考虑结论在使用后的损失。可决策者在使用推断时必需与得失联系在一起，能带来利润的就会使用，使他遭受损失的就不会采用，度量得失的尺度就是损失函数, 它是著名的统计学家A.Wald（1902－1950）在40年代引入的一个概念。从实际归纳出损失函数是决策的关键。 贝叶斯决策：把损失函数加入贝叶斯推断就形成 贝叶斯决策论，损失函数被称为贝叶斯统计中的第四种信息。 2 －1 －4 －3 4 1 0 －2 3 例1 设甲乙二人进行一种游戏，甲手中有三张牌， 分别标以 。乙手中也有三张牌，分别标以 。游戏的规则是双方各自独立的出牌，按下表可计算甲的得分与乙的得分。 甲的得分矩阵(乙的失分矩阵) 这是一个典型的双人博弈（赌博）问题。不少实际问题可归纳为双人博弈问题。把上例中的乙方改为自然或社会，就形成人与自然（或社会）的博弈问题。 例2 农作物有两个品种：产量高但抗旱能力弱的品种 和抗旱能力强但产量低的品种 。 在明年雨量不知的情况下，农民应该选播哪个品种可使每亩平均收益最大？这是人与自然界的博弈。以明年60mm雨量为界来区分雨量充足 和雨量不充足 。写出收益矩阵（单位：元） 400 100 200 1000 例3 一位投资者有一笔资金要投资，有以下几个投资供他选择： 购买股票，根据市场情况，可净赚5000元，但可能使他亏损10000元 存入银行，不管市场情况如何总可净赚1000元 这位投资者在金融市场博弈。未来的金融市场也有两种情况：涨 与跌 . 可写出投资者的收益矩阵 1000 -10000 1000 5000 投资者将依据收益矩阵决定他的资金投向何方 这种人与自然（或社会）的博弈问题称为决策问题 1 状态集 ，其中每个元素 表示自然界（或社会）可能出现的一种状态，所有可能状态的全体组成状态集。 2 行动集 ，其中a表示人对自然界可能采取的一个行动。 一般行动集有两个以上的行动可供选择。若有两个行动无论对自然界的哪一个状态出现， 总比 收益高，则 就没有存在的必要，可把它从行动集中去掉，使留在行动集中的行动总有可取之处。 3 收益函数 ，函数值 表示当自然界处于状态 ，而人们选取行动 时所得到的收益大小。 收益函数的值可正可负，若正表示盈利，负表示亏损，单位常用货币单位，收益函数的建立不是件容易的事，要对所研究的问题有全面的了解才能建立起来。收益矩阵 为了统一处理，在决策中常用一个更为有效的概念：损失函数。在状态集和行动集都为有限时用损失矩阵。 这里的损失函数不是负的收益，也不是亏损。例如，某商店一个月的经营收益为－1000元，即亏1000元。这是对成本而言。我们不能称为损失，而称其为亏损。我们讲的损失是指“该赚而没有赚到的钱”，例如该