第三讲平均数、标准差和变异系数.ppt

上章内容回顾 试验资料的整理：检查和核对；制作次数分布表和分布图（柱形图、折线图、条形图，饼图） 第三章 平均数、标准差和变异系数 平均数（mean）用于反映资料的集中性，即观测值以某一数值为中心而分布的性质。 标准差（standard deviation）与变异系数（variation coefficient）反映资料的离散性，即观测值分散变异的性质。 第一节 平均数 一、平均数的意义和种类 二、算术平均数的计算方法 三、算术平均数的重要特性 四、算术平均数的作用 五、总体平均数 一、平均数的意义和种类 平均数(average)是数据的代表值，表示资料中观察值的中心位置，并且可作为资料的代表而与另一组资料相比较，借以明确二者之间相差的情况。 平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明资料中各观测值相对集中较多的中心位置。平均数主要包括有： 算术平均数（arithmetic mean） 中位数（median） 众数（mode） 几何平均数（geometric mean） 调和平均数（harmonic mean） 二、算术平均数的计算方法 第二节 变异数 平均数作为样本的代表，其代表性的强弱受样本资料中各观测值变异程度的影响。每个样本有一批观察值，除以平均数作为样本的集中性表现外，还应该考虑样本内各个观察值的变异情况，才能通过样本的观察数据更好地描述样本，乃至描述样本所代表的总体，为此必须有度量变异的统计数。常用的描述变异程度指标有： 1、极差（range） 2、方差（variance） 3、标准差（standard deviation） 4、变异系数（variation coefficient） 一、极差 极差(range)，又称全距，记作R，是资料中最大观察值与最小观察值的差数。 极差虽可以对资料的变异有所说明，但它只是两个极端数据决定的，没有充分利用资料的全部信息，而且易于受到资料中不正常的极端值的影响。所以用它来代表整个样本的变异度是有缺陷的。 二、方差 为了正确反映资料的变异度，较合理的方法是根据样本全部观察值来度量资料的变异度。这时要选定一个数值作为共同比较的标准。平均数既作为样本的代表值，则以平均数作为比较的标准较为合理，但同时应该考虑各样本观察值偏离平均数的情况，为此这里给出一个各观察值偏离平均数的度量方法。 标准差为方差的正平方根值，用以表示资料的变异度,其单位与观察值的度量单位相同。从样本资料计算标准差的公式为： 同样，样本标准差是总体标准差的估计值。总体标准差用表示： 四、变异系数 标准差和观察值的单位相同，表示一个样本的变异度。若比较两个样本的变异度，则因单位不同或均数不同，不能用标准差进行直接比较。这时可计算样本的标准差对均数的百分数，称为变异系数(coefficient of variation)。 我们还可以采用将离均差平方的办法来解决离均差有正、有负，且离均差之和为零的问题。 先将各 个离 均差平方，即 ( )2 ，再求 离均差平方和 ， 即 ，简称平方和，记为SS； 由 于 离差平方和 常 随 样 本 大 小 而 改 变 ，为 了 消 除 样 本大小 的 影 响 ， 用平方和 除 以 样 本 大 小， 即 ，求出离均差平方和的平均数 ； 为了使所得的统计量是相应总体参数的无 偏估计量，统计学证明，在求离均差平方和的平均数时，分母不用样本含量n，而用自由度 n-1， 于是，我们 采 用统计量 表示资料的变异程度。 统计量 称为均方（mean square, 缩写为MS）, 又称样本方差，记为S2，即 S2= （4.7） 相应的总体参数叫 总体方差 ，记为σ2。对于有限总体而言，σ2的计算公式为： （4.8） 由于 样本方差 带有原观测单位的 平方单位，在仅表示一个资料中各观测值的变异程度而不作其它分析时，常需要与平均数配合使用，这 时应 将平方单位还原，即应求出样本方差的平方根。统计学上把样本方差 S2 的平方根叫做样本标准差，记为S，即： 三、标准差 由于 所以（ 4.9 ）式可改写为： （4.10） 相应的总体参数叫总体标