2014年高等数学竞赛讲义6 第六部分 常微分方程.pdfVIP

第六部分 常微分方程 §1 一阶微分方程的解法 （1） 可分离变量方程 f 1(x )g1 ( y )dx 2 f ( x) 2 g ( y) d y 0 f 1 (x ) g 2 (y ) f 1(x ) g 2 (y ) 解法：两边同除g (y ) f (x) 0 且积分，得 dx  dy 0, dx  dy C 1 2   f 2 (x ) g 1 (y ) f 2 (x ) g 1 (y ) （2 ） 齐次方程 y  f (y ) x y  du 解法：令u ，则y ux , y u x ，于是，原方程 x dx du du dx du u x f (u)   ln x C dx f (u) u x f (u) u （3 ）一阶线性方程  y P (x )y Q (x )  P (x )dx  P (x )dx    解法：通解y e Q (x )e dx C  。注意：换位思考。 （4 ）贝努里方程 y P (x )y Q (x )y n 其中n 0,1 1n 1 dz 解法：令Z y ，则方程 P(x)z Q(x) 1n dx dz (1n)P(x)z (1n)Q(x) ，再用一阶线性方程的求解公式求解 dx P Q （5 ）全微分方程 P( x, y) dx Q( x, y) d y 0 为全微分方程 y x (x ,y ) 解法：通解为：(x0 ,y0 ) P(x, y )dx Q(x, y )dy C （6 ）变量替换解方程 常见形式：y  f (x y ), y  f (x 2 y 2 ), y  f (xy ) 2 2 相应变换：z x y , z x y , z xy