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统计学 天津财经大学统计系 第九章 方差分析 第一节 单因子方差分析 一、问题的提出 二、方差分析的检验统计量 三、关于方差分析的两点说明 一、问题的提出 【例9-1】已知在一组给定的条件下饲养小鸡所增加的体重服从正态分布。某养鸡场欲检验四种饲料配方对小鸡增重的影响是否不相同（假定已经经过检验表明不同饲料配方下的小鸡增重方差相等）。为此，他们对四组初始条件完全相同的小鸡，在完全相同的其他饲养条件下，分别使用四种不同的饲料配方进行喂养。所得到的增重数据如表6-3。 表9-1 四种不同饲料配方下小鸡的增重情况 对于类似本例的问题，一般地，把随机变量分组的数目记作m，我们可建立下列假设： 二、方差分析的检验统计量 表9-2 方差分析表 （一）方差分析中变量的类型 方差分析中的因变量是数量型变量。自变量可以是品质型变量，也可以是数量型变量。当自变量是数量型变量的时候，也要对其作统计分组设计，也就是将它按品质型变量来处理。 （二）总体的正态性和同方差 方差分析适用于多个正态总体Yi（i=1，2，…，m）均值的比较，且要求它们具有相同的方差。不过在实际应用中，即使对于正态性和同方差性都存在很大背离的数据，方差分析仍不失为一种提供有用的近似信息的技术。 第二节 双因子方差分析 一、问题的提出 二、有交互作用的双因子方差分析 一、问题的提出 方差分析中的“因子”，也称因素。它是一个独立的变量（自变量）。在上一节的例子中，我们要分析饲料是否为影响增重产生差异的原因，所以饲料是因子。该例中所考察的因子只有“饲料”一个，而其他因子如鸡的品种，饲养条件等保持不变，我们称这种方差分析为单因子方差分析。如果要同时考察饲料和鸡的品种两个因子对小鸡的增重是否有影响，则称之为双因子方差分析。 在这里要注意，不能把A的r个处理和B的c个处理看成“随机样本”。现在的rc个处理是rc个总体，即Ai和Bj的每一种搭配形成的组格都是一个总体（随机变量Yij）。对一个组格总体的nij个观测yij1,yij2,…,yij 才是随机样本。 我们把Ai与Bj的搭配所形成的组格总体即随机变量Yij的期望值记作 ，于是可以写出与表9-3（样本）相应的总体期望值表如表9-4。 二、有交互作用的双因子方差分析 样本数据的方差分析恒等式。 SST=SSA+SSB+SSAB+SSE （9.11） 式中, SST是总离差平方和， SSA 是A因子处理间的离差平方和， SSB 是B因子处理间的离差平方和， SSAB 是AB交互作用处理间的离差平方和， SSE 是组格内离差平方和。 * * 第一节 单因子方差分析 第二节 双因子方差分析 8720 820 1350 1680 1650 1620 1600 2500 410 380 420 400 480 410 配方4 1920 470 380 400 340 330 配方3 2570 410 500 390 400 380 490 配方2 1730 490 450 420 370 配方1 6 5 4 3 2 1 38周后小鸡个体增重yij(克) 小鸡序号 j 饲料配方 i 【例9-2】利用表9-1中的数据进行单因子方差分析（显著水平为α=0.05）。 20 46923.81 总计 2341.863 17 39811.67 组内 3.196774 0.411573 1.01232 2370.714 7112.143 组间 临界值 P-值 值 均方差 自由度 离差 平方和 变异 来源 三、关于方差分析的两点说明 开展方差分析需要先建立样本数据的方差分析恒等式： = + （9.1） 式中， 总变差平方和 (9.2) 组间变差平方和 (9.3) 组内变差平方和 (9.4) 可以证明，在原假设成立的条件下，下面的检验统计量服从分子自由度为，分母自由度为的分布。即 （9.7） 解：（1）建立假设 （3）构造统计量并计算检验统计量的样本值 F= 以上三式中的样本平均数定义为: 总样本平均数 （9.5） 各组样本平均数 （9.6） ni是各组样本观测值的个数，n为所有样本观测值的个数，m是分组数目。 上式的分子MSR为组间方差，MSE为组内方差。F值越大，越说明总的方差波动中，组间方差是主