数学竞赛中的二次函数问题上.pdf

2009年第7期 13 从本期开始，本刊隆重推出从高考到竞赛栏目。本栏目的宗旨是： 为竞赛打好基础，为高考丰富知识；为竞赛提升能力，为高考储备能量。 高考与竞赛在知识上是相通的，在方法上是类似的，在数学思想上是一致的。栏目力求兼 顾高考与竞赛，特别是高中联赛的第一试，从高考出发，到竞赛落脚，深入浅出，起点低，坡度 缓，跨度大。读者群指向大多数高中生及数学教师，愿本栏目对读者有益，对高考和数学竞赛 都有益。 欢迎广大作者积极为本栏目撰稿。’ 本刊编辑部 数学竞赛中的二次函数问题(上) 曹贤鸣 (浙江省台州市第一中学，318000) 二次函数与二次方程、二次不等式的交 0)．因此，可利用零点式求解． 汇自然贴切、一脉相承，因而，此类问题内容 设以菇)=口(髫一2+√2)(菇一2一√2)． 丰富、解题思路灵活多样，一直是高考和高中 由于二次函数的图像经过点(O，1)，代 联赛第一试的重要内容之一．本文通过一些 1 人待定式求得口=÷于是， 实例的求解，旨在介绍数学竞赛中与二次函 二 数相关问题的常见题型及其求解方法． 1 一 一 八菇)=-q1--(石一2+以)(石一2一√2)， ‘ 1二次函数问题 1 一 即八石)=÷z2—2x+1． 二 1．1 求二次函数解析式 二次函数解析式常见形式有三种．求二 说明：在求二次函数的解析式时，要充分 次函数解析式，就是选取其中一种形式，结合 利用其图像的几何性质，灵活选取待定式，优 已知条件列方程(组)求出待定系数，进而确 化求解过程． 定二次函数的解析式． 1．2二次函数在闭区间上的最值 例1设二次函数八石)满足 求二次函数f(石)在闭区间[m，n]上的 八茗+2)--f(一茗+2) 最值，视二次函数图像的开口情况及其对称 轴与闭区间的相对位置关系来判断二次函数 且它的图像与Y轴交于点(0，1)，在z轴上截 得的线段长为2在．求八髫)的解析式． 在闭区间[m，n]上的单调性，进而求最值． (2002，安徽省高中数学竞赛) 例2已知二次函数 讲解：利用二次函数图像的对称性，再结 以算)=4x2—4ax+(n2—2口+2) 在0≤舅≤1上的最小值为2．求口的值． 合它在髫轴上截得的线段长为2拉，知八戈) (2001，湖南省高中数学奥林匹克选拔 的(2+在，0)，图像与戈轴的交点为(2一在， 赛) 收稿日期：2009—02一04