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第二章 两变量线性回归分析 两变量线性回归模型 参数估计和最小二乘法 最小二乘估计量的性质 回归拟合度评价和决定系数 统计推断 预测 两变量线性回归模型 两变量线性回归模型的核心是两个变量之间，存在着用线性函数表示的因果关系 如果用Y表示因果关系中被影响或决定的变量，用X表示影响或决定Y的变量，那么两变量线性回归模型的核心就是线性函数Y=α+βX，这个线性函数的截距α和斜率β是两个待定参数，是决定这个特定因果关系（或经济规律）的关健变数 由于计量分析是的问题导向的，Y应该是与所考察问题最紧密相关的指标；解释变量应该根据所研究问题的具体情况和特征，以及相关的经济理论和研究经验等进行判断选择；两个变量关系是否直接用线性函数反映，则需要利用相关的经济理论和经验，以及根据变量数据的分布情况进行判断 教材20页图 经济变量关系中的随机性（一） 线性回归分析是以经济变量之间存在线性的因果关系为基础的，但这种因果关系不是严格意义上的函数关系，一个变量通常不可能被另一个经济变量完全精确地决定 人类经济行为本身有随机性 一个经济变量总是受众多因素的影响，虽然众多因素的单独影响可能较小，甚至可以忽略不计，但这些因素的总体影响是存在的，会对所考察的变量产生明显的影响或扰动，从而使只考虑两 个变量之间的函数难以严格成立 任何函数反映经济变量之间的关系都只是一种简化反映，常常忽略一些高阶项的次要部分，这种简化也会导致变量之间的函数关系不能严格成立 经济数据来源于调查统计而非控制条件下的严格实验和测度，因而难免有一定的偏差 经济变量关系中的随机性（二） 影响经济变量严格函数关系因素的存在，使得我们所研究的两变量线性关系，实际上都是有一定随机性的随机函数关系，应该表示为Y=α+βX+ε 两个变量的随机线性函数由两部分组成 一部分由严格的线性函数E（Y）= α+βX构成，我们称之为两变量关系的趋势部分，也称为总体回归直线，是两变量关系的主要方面，也是我们研究的主要目标和对象 另一部分是随机误差项ε，代表了影响Y的各种较小因素的综合影响，是两变量关系中的次要方面 模型的假设 变量X和Y之间的函数关系Y=α+βX+ε，对两变量的所有观察数据组 （i=1,…,n）都成立，其中 为随机误差项 对应每组变量观测数据的误差项 ，都为零均值的随机变量，即 对 i=1,…,n 都成立 误差项 的方差为常数，即 对i=1,…,n 都成立 对应不同观测值数据组的误差项不相关，即 对任意的i ≠ j都成立 解释变量X是确定性变量，而非随机变量 误差项 服从正态分布 零均值 零均值是线性回归模型最基本的假设，它是两变量线性随机函数的本质特征，是识别这种关系的根本标准 识别变量之间的随机函数关系，只能根据平均情况或概率分布来进行 如果两个变量的关系中确实线性函数是主导的，误差项只是次要的随机扰动因素，那么Y的个别观测会因为随机扰动偏离线性函数规定的基本趋势，但如果对同样的X多次重复观测对应的Y值，则Y值的概率均值应该能消除随机扰动的影响，符合线性函数的基本趋势 该标准可等价地表示为 对 i=1,…,n 都成立，也就是被解释变量的期望值始终落在总体回归直线上，是参数估计方法有有效性和良好性质的必要保证 26页图2-3 同方差 误差项的方差反映误差项作为随机函数的分布分散程度 同方差假设的意义是对于不同观测数据组，误差项的发散趋势相同，或有相同形状的概率密度函数 如果 的方差随i变化而变化，就意味着这部分因素对被解释变量的影响力度会随着i而变化，因此就不能再理解为一些微小的可以忽略的随机扰动因素的影响 同方差假设排除模型误差项对被解释变量影响程度的变化，对保证线性回归分析的性质和价值，有非常重要的作用 26页图2-4 无自相关 无自相关假设的意义是对应不同观测值的误差项之间没有相关性。如果这一点不成立，则意味着调养项的取值变化存在某种规律性，这与模型认为误差项只是没有规律的微小随机因素的综合影响的思想不符 当误差项之间存在相关性时，会对线性回归分析的效果产生不利的影响 同时满足零均值、同方差、无自相关三条假设的随机误差项，有时也称为“球形扰动项 解释变量是确定性变量 解释变量X是确定性变量而不是随机变量的假设，在于方便线性回归分析的讨论和证明；这个假设不成立时，虽然多数情况下参数估计和相关的统计分析仍然有效，但证明比较困难 当X既是随机变量又与误差项有强相关性时，回归分析的有效性和价值会受到严重影响 这条假设有很大的人为性，因为X作为一个经济变量，也