国家集训队2007论文集7.胡伯涛《最小割模型.pptVIP

最小割模型在信息学竞赛中的应用Applications of Minimum Cut Modelin Informatics 胡伯涛 Amber [ADN.cn] 福州第一中学 Fuzhou No.1 Middle School 最小割定义 网络的割[S,T] —— 将点集V划分为S和T两部分，(其中源s属于S且汇t属于T)，而从S指向T的边组成割 割容量 —— 割中所有边的容量和 最小割 —— 容量最小的割 最小割解法 最大流最小割定理网络的最大流流值＝该网络的最小割容量 求解最小割的有力武器 记 表示在点数为n，边数为m的网络中求最大流 引入 NOI 2006 最大获利 最小割是最大流的对偶问题。不直观，模型隐蔽。 展示最小割模型应用的巧妙构图方法和独特思维方式 NOI 2006 最大获利 (Profit)问题描述 简要描述 有n个结点，m条无向边可供建设。 建立一个结点u有一定的花费pu。建立一条无向边有一定的非负收益we。 建立一条无向边(u, v)的必要条件是要先建立点u，点v。 求最大获利。 NOI 2006 最大获利 (Profit)分析 目的：选出一个边集E’, 点集V’。且最大化： 限制条件：对于在E’中每条边(u, v)，它的端点u，v一定要在V’中。 提出解决事件依赖关系的有力图论工具：闭合图。 最大权闭合图  定义 有向图的闭合图（closure）：闭合图内任意点的任意后继也一定还在闭合图中。 物理意义事物间依赖关系：一个事件要发生，它需要的所有前提也都一定要发生。 最大权闭合图是点权之和最大的闭合图。 最大权闭合图解决 最大权闭合图构图 增加源s汇t 源s连接原图的正权点，容量为相应点权 原图的负权点连接汇t，容量为相应点权的相反数 原图边的容量为正无限. 最大权闭合图解决 NOI 2006 最大获利 (Profit)标准算法 将原题中的边和点都看成事件。边事件依赖边的两个端点事件的发生。这与闭合图的性质相似。 构造性地，将边转化为点事件。 NOI 2006 最大获利 (Profit)标准算法 最大权闭合图小结 在任意带权有向图中，只要有依赖关系需要解决，最大权闭合图都普遍适用。（普适性） 在最大获利的解决方法1中，最大权闭合图来解决二分图模型。（特殊性） 改进算法提出 改进算法分析 先选点集V’ 再找V’之间的边集E’ 改进算法尝试构图 选出点集V’ 对于每个点：选或不选 构图 从源向每个点连边 从每个点向汇连边 改进算法分析 改进算法构图 改进算法解决 通过以上公式变形，可知答案为 其中c[S,T]为最小割，证明从略 改进算法对比 改进算法小结 改进动机 利用最小割的想法 不断的完善这个想法 得出极为精妙的构造 论文特点 研究的重点是最小割模型的应用 不仅仅给出了结论，还着重阐述得出结论的分析过程。 不仅授之以鱼，还授之以渔。 分析过程，是以Polya在数学思想方法论中的精华－－《怎样解题表》作为贯串思维的主线。如刚才的构造过程就充分的展示了这一特点。 论文研究内容 主要研究四个方面的应用 基于最小割定义的直接应用 最大权闭合图 最大密度子图 二分图的最小点权覆盖集与最大点权独立集 论文研究内容 Sorry for poor time. 感谢 感谢越南的Thanh Vy 感谢郭华阳提供原创题 感谢王欣上的测试实验 感谢CCF提供给我一个展示自我的舞台 谢谢大家 Thanks to you all 改进算法证明 关于实现效率 本人实现的Preflow Push 40.41s ? 0.71s 王欣上提供的Dinic测试： 1.7s ? 0.3s 总结 转化过程的模式 Transforming Pattern 建立一一对应关系 割的性质 Property of Cut 不存在任何一条s到t的路径 将点集分成两类 技巧 用正无限的容量排除不参与决策的边 使用割的定义式来分析最优性 利用与源或汇关联的边容量处理点权 最大权闭合图 － 证明 该通过对以上网络的最小割的求解，可以得到原问题的解。 概念：若一个割不包含正无限容量的边，称该割为简单割。最小割必是简单割。 闭合图V1与简单割[S, T]间有一一对应关系 最大权闭合图 － 证明 最大权闭合图 － 证明 最大密度子图 － 定义 定义一个无向图的密度(density)为该图的边数与该图的点数的比值 最大密度子图是一个具有最大密度的子图 由于目标是求最大, 可以直接把子图重定义为的子图点集的导出子图 最大密度子图 － 主算法 这是0-1分数规划的模型 对答案值的二分查找，将分数规划