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初中八年级数学培优竞赛第22讲 相似三角形的性质
第22讲 相似三角形的性质
一个专心钻研教材的老师能够拿出一个有意义的但是又不太复杂的题目,去帮助学生发掘问题的各个方面,使得通过这道题,就好像通过一道门户,把学生引入一个完整的理论领域。
-------玻利亚
知识纵横
两个相似三角形的对应角相等,对应边成比例,对应边之比称为它们的相似比,可以想到这两个相似三角形中其他一些对应元素也与相似比有一定的关系。
相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比;
相似三角形周长之比等于相似比;
相似三角形面积之比等于相似比的平方。
以上诸多相似三角形的性质,丰富了与角、面积等相关的知识方法,开阔了研究角、面积等问题的视野。
例题求解
【例1】如图,在ABCD中,AD∥BC,BE平分∠ABC交CD于E,且BE⊥CD,CE:ED=2:1.如果△BEC的面积为2,那么四边形ABED的面积是
思路点拨 平分线与垂直重合,为构造全等三角形创造了条件,解题的关键是将线段比转化为面积比。
【例2】如图,在矩形
B、
C、 D、
思路点拨 充分运用直角构造相似三角形。
【例3】如图,已知△ABC的面积为s,周长为p,△A’B’C’的三边在△ABC外,且与对应边的距离均为h,求△A’B’C’的周长的面积。
(上海市竞赛题)
思路点拨 对应顶点的连线是△A’B’C’三个内角的平分线,设它们的交点为I,可以证明I也为△ABC三个内角平分线的交点,设I到△ABC、△A’B’C’距离分别为r、r’,则r’=r+h,且,这是解本题的关键。
【例4】如图,在△ABC的内部选取一点P,过P点作3条分别与△ABC的三边平行的直线,这样所得的3个三角形t1、t2、t3的面积分别为4、9和49,求△ABC的面积。
(美国数学邀请赛试题)
思路点拨 图中有相似三角形、平行中边形,通过相似三角形性质建立面积关系式,关键是恰当选择相似比,注意等线段的代换,追求形式上的统一。、
【例5】如图,已知△ABC中,O是三角形内一点,满足∠BAO=∠CAO=∠CBO=∠ACO,求证:BC2=AC·AB。
(2011年北京大学自主招生试题)
[例6]如图(,已知正方形EFGH内接于△ABC,AD⊥BC于D,设BD=a,AD=h,EH=x.
求证:;
求证:
学力训练
基础夯实
1、如图,光源P在横杆AB的正上方,AB在灯光下的影子为CD,AB∥CD,AB=2cm,CD=6cm,点P到CD的距离为2.7cm,则AB与CD之间的距离是_____________.
(芜湖市中考题)
2、如图,要将等腰RT△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1,若BC=,S△PB1C=2,则BB1=____________.
3、在ABCD中,点E在AD上,且AE:ED=3:1,CE的延长线与BA的延长线交于点F,则
4、如图, ABCD中,AB>AD,AE,BE,CM,DM分别为∠DAB,∠ABC,∠BCD,∠CDA的平分线,AE与DM相交于点F,BE与CM相交于点N,连接EM.若 ABCD的周长为42cm,FM=3cm,EF=4cm,则EM=______cm,AB=______cm.
5、已知△ABC∽△A’B’C’,△A’B’C’的面积为6cm2,周长是△ABC的一半,AB=8cm,则AB边上的高为( )
A、 3cm B、6cm C、9cm D、12cm
(南通市中考题)
如图,已知△ABC的面积是12,点E、I分别在边AB、AC上,在BC边上依次作了n个全等的小正方形DEFG,GFMN,…,KHIJ,则每个小正方形的边长为( )
如图,在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中,作内接正方形;在等腰直角三角形中,作内接正方形;在等腰直角三角形中,
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