第二节矩阵的特征值与特征向量.pptVIP

第五章 相似矩阵与二次型 §2 方阵的特征值和特征向量 §1 向量的内积 §3 相似矩阵 §4 对称矩阵的对角化问题 §5 二次型及其标准形 §6　正定二次型 §2 方阵的特征值和特征向量 例1~4 特征值与特征向量的概念 特征值与特征向量的计算 特征值与特征向量的性质 例5~9 特征值与特征向量的概念 定义 设 为 阶方阵, 如果数 和 维非零向量 使 成立, 则称数 为 的一个特征值, 零向量 称为 的对应于特征值 的特征向量. 注: 阶方阵 的特征值, 就是使齐次线性方程组 有非零解的值, 都是矩阵 的特征值; 的 即满足方程 非 特征值与特征向量的概念 定义 设 为 阶方阵, 如果数 和 维非零向量 使 成立, 则称数 为 的一个特征值, 零向量 称为 的对应于特征值 的特征向量. 非 称关于 的一元 次方程 程, 为 的特征方 称 的一元 次多项式 特征多项式. 为 的 特征值与特征向量的计算 定义 设 为 阶方阵, 如果数 和 维非零向量 使 成立, 则称数 为 的一个特征值, 零向量 称为 的对应于特征值 的特征向量. 非 根据上述定义, 即可给出特征向量的求法: 设 为方阵 的一个特征值, 则由齐次线性方程组 可求得非零解 特征向量. 若 是方程组 的基础解系, 则 的对应于特征值 的特征向量的全体可表示为 那么 就是 的对应于特征值 的 完 例 1 解 代入与特征方程对应的齐次线性方程组, 求矩阵 矩阵 的特征方程为 所以 是矩阵 的两个不同的特征值. 以 得 基础解系是 的特征值与特征向量. 故 的全部特 是矩阵 对应于 征向量. 例 1 解 求矩阵 的特征值与特征向量. 完 以 代入与特征方程对应的齐次线性方程组, 得 基础解系是 特征向量. 故 是矩阵 对应于 的全部 例 2 解 求 的特征值与特征向量. 特征值 时, 当 解方程 设 由 基础解系 例 2 解 由 基础解系 当 时, 解方程 故对应于 的全体特征向量为 由 例 2 解 由 得基础解系 故对应于 的全体特征向量为 不同时为0). ( 完 例 3 解 特征向量. 求 阶数量矩阵 的特征值与 故 的特征值为 把 代入 得 例 3 解 把 代入 得 性无关的向量都是它的基础解系, 取单位向量组 作为基础解系, 所以任意 个线 于是 的全部特征向量为 这个方程组的系数矩阵是零矩阵, ( 不全为零). 完 例 4 解 试求上三角矩阵 的特征值: 因此 的特征值等于 这是一个上三角行列式, 因此, 完 特征值与特征向量的性质 性质1 阶矩阵 与它的转置矩阵 有相同的特征值. 证 由 有 知 与 有相同的特征多项式, 故它们的特征值相同. 性质2 设 阶矩阵, 是 则 特征值与特征向量的性质 性质2 设 阶矩阵, 是 则 式中 是 的全体 阶主子式的和. 设 是 的 个特征值, 则 完 例 5 证 试证: 是 必要性 于是 充分性 对应的特征向量为 由特征值的定义, 有 阶矩阵 是奇异矩阵的充分必要条件 有一个特征值为零. 若 是奇异矩阵, 则 即 是 的一个特征值. 设 有一个特征值为 所以齐次线性方程组 有非零解 由此可知 即 为奇异矩阵. 例 6 证 证明 因 证毕. 设 是方阵 的特征值, 当 可逆时, 是 的特征值; 是 的特征值. 是 的特征值; 因 故有 使 当 可逆时, 由 有 知 故 即 是 的特征值. 是 的特征值. 所以 于是 定理 阶方阵 互不相等的特征值 对 应的特征向量 线性无关. 证 用数学归纳法. 时, 因特征向量不为零, 成立. 设 前 个特征值 对应的特征向量 线性无关, 欲证 线性无关. 设 ① 成立, 以矩阵 乘①式两端, 由 整理得 ② 由①, ②消去 得 结论 定理 阶方阵 互不相等的特征值 对 应的特征向量 线性无关. 证 由①, ②消去 得 于是①式化为 故 线性无关. 定理 阶方阵 互不相等的特征值 对 应的特征向量 线性无关. 注: 线性无关的特征向量; 有 个不同的特征值, 阶方阵 属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是 属于这个特征值的特征向量; 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的, 一个特征值具有的特征向量不唯一; 一个特征向量 不能属于不同的特征值. 则 有 个 因为, 若设 同时是 的 属于两个不同的特征值 的特征向量, 即 定理 阶方阵 互不相等的特征值 对 应的特征向量 线性无关. 因为, 若设 同时是 的 属于两个不同的特征值 的特征向量, 即 由 得 与定义矛盾. 故结论成立. 完 例 7 解 的线性无关的特征向量组. 求 阶矩阵 3 的特征多项式为 的特征值以及相应 这个多项式的根为 因此 的特征值等于 接下来求特征向量: 对