第二讲直线与圆的位置关系2011.4.19.pptVIP

观察 在图（１）中，根据圆内接四边形性质，有∠ＢＣＥ＝∠Ａ． 猜想：△ABC是⊙O的内接三角形，CE是⊙O的切线，则∠BCE= ∠ A. 分析：延用从特殊到一般的思路。先分析△ABC为直角三角形时的情形，再将锐角三角形和钝角三角形的情形化归为直角三角形的情形。 (2)圆心0在△ABC的内部 (3)圆心0在△ABC的外部, 例1.如图已知AB是⊙O的直径,AC是弦,直线CE和⊙O切于点C,AD⊥CE,垂足为D.求证:AC平分∠BAD. 思路二: 连结OC,由切线性质,可得OC∥AD,于是有∠2=∠3,又由于∠1=∠3,可证得∠1=∠2 探究1:AB是直径,CD⊥AB交点P.线段PA,PB,PC,PD之间有何关系? 2.割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等. 例1.圆内的两条弦AB,CD交于圆内一点P,已知PA=PB=4.PC= PD,求CD的长. 例2.E是圆内的两条弦AB,CD的交点,直线EF//CB,交AD的延长线于F,FG切圆于G.求证:(1)△DFE∽△EFA; (2)EF=FG 例3.如图,两圆相交于A,B两点,P是两圆公共弦AB上的任一点,从P引两圆的切线PC,PD.求证:PC=PD 探究4:使割线PD绕P点运动到切线的位置,可以得出什么结论? A(B) P O D C 易证Rt△OAP≌Rt△OCP. PA=PC 4.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. A(B) P O C(D) PA2=PC·PD 思考:1.由切割线定理能证明切线长定理吗? 如图由P向圆任作一条割线EF试试. A(B) P O C(D) E F 思考:2.你能将切线长定理推广到空间 的情形吗? O C D A B P 解:设CD=x,则PD= ,PC= 由相交弦定理,得 PA?PB=PC?PD ∴4×4= ? 求得 x=10, ∴CD=10 A B C O F G E D 3 2 1 △DFE∽△EFA EF2=FA?FD 又GF2=FA?FD GF2= EF2 EF=FG P A B D C 析：PC2=PA?PB 又PD2=PA?PB PC2= PD2 PC=PD 例4.如图,AB是⊙O的直径,过A,B引两条弦AD和BE,相交于点C, 求证:AC?AD+BC?BE=AB2. A B D E C O F 分析:A,F,C.E四点共圆 BC?BE=BF?BA. F,B,D,C四点共圆 AC?AD=AF?AB. AC?AD+BC?BE=AF?AB+BF?BA =AB(AF+BF)=AB2 * 一.圆周角定理 圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆心角的一半。 分三种情况讨论. 已知 在⊙O中，BC所对的圆周角和圆心角分别是 ∠BAC, ∠BOC. 求证：∠BAC= ∠BOC. ⌒ A B O C A B O C (1) (2) A B O C (3) 圆心角定理 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等; 同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等. 推论2 半 圆(或直径)所对的圆周角是直角; 90o的圆周角所对的弦是直径. 同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等, 所对的圆周角也相等. 例1 如图,AD是△ABC的高,AE是△ABC的外接圆直径.求证:AB·AC=AE·AD. 证明:连接BE. ∴AB·AC=AE·AD. ∽ A B C E D O 例2 如图,AB与CD相交于圆内一点P. 求证:AD的度数与BC的度数和的一半等于∠APD的度数. ⌒ ⌒ D A C B P E 既非圆周角 也非圆心角 证明:过点C作CE//AB交圆于点E,则有 ∵AE=BC, ( ? ) ⌒ ⌒ ∴DAE=DA+AE=AD+BC, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 又∵∠DCE的度数等于DAE的一半 ⌒ ∴ ∠APD的度数等于AD的度数与BC的度数和的一半. ⌒ ⌒ ∠ABE=∠BEC 二.圆内接四边形的性质与判定定理 圆内接多边形-----所有顶点都在一个圆上的多边形. 这个圆称多边形的外接圆. 思考: 任意三角形都有外接圆.那么 任意正