培训上-3-稳定性1.ppt

食饵（甲）数量 x(t), 捕食者（乙）数量 y(t) 甲独立生存的增长率 r 乙使甲的增长率减小，减小量与 y成正比 乙独立生存的死亡率 d 甲使乙的死亡率减小，减小量与 x成正比 方程(1),(2) 无解析解 食饵-捕食者模型(Volterra) a ~捕食者掠取食饵能力 b ~食饵供养捕食者能力 Volterra模型的平衡点及其稳定性 平衡点 稳定性分析 P点稳定性不能用近似线性方程分析 p =0, q 0 P: 临界状态 q 0 P′ 不稳定 t x(t) y(t) 0 20.0000 4.0000 0.1000 21.2406 3.9651 0.2000 22.5649 3.9405 0.3000 23.9763 3.9269 … … … 5.1000 9.6162 16.7235 5.2000 9.0173 16.2064 … … … 9.5000 18.4750 4.0447 9.6000 19.6136 3.9968 9.7000 20.8311 3.9587 用数学软件MATLAB求微分方程数值解 x~y 平面上的相轨线 计算结果（数值，图形） x(t), y(t)是周期函数，相图(x,y)是封闭曲线 观察，猜测 x(t), y(t)的周期约为9.6 xmax? 65.5, xmin ? 6, ymax ? 20.5, ymin ? 3.9 用数值积分可算出 x(t), y(t)一周期的平均值： x(t)的平均值约为25, y(t)的平均值约为10。 平衡点稳定性分析 消去dt 用相轨线分析 点稳定性 c 由初始 条件确定 取指数 x0 fm f(x) x 0 g(y) gm y0 y 0 在相平面上讨论相轨线的图形 用相轨线分析 点稳定性 相轨线 时无相轨线 以下设 稳定性分析 P y0 x0 x2 x1 取定x?[x1 , x2 ], x y2 y1 模型结果分析 P y0 x0 对应于每一个c，都有一条闭轨线 T3 T2 T4 T1 模型解释 r ~食饵增长率 d ~捕食者死亡率 b ~食饵供养捕食者能力 捕食者 数量 食饵数量 a ~捕食者掠取食饵能力 捕食者数量与r成正比, 与a成反比 食饵数量与d成正比, 与b成反比 P r/a d/b 四、市场经济中的蛛网模型 在自由竟争的市场经济中，从生产者、消费者两方面来讨论商品生产随价格变化的规律，即讨论生产数量与产品价格之间的关系。 经济发展无论是“大起”还是“大落”，都存在风险，理想的经济发展模式是渐进式的增长。 改革开放之初，彩电、冰箱、洗衣机需求增长和快，于是不断地有新的厂商诞生，产品单一但市场供不应求，厂家都能赢利不过很快社会需求基本饱和，而社会的生产能力严重过剩，大批企业亏损、转产，陷入衰落。此类反复，对社会经济损害巨大，社会财富被浪费。 后来钢铁、水泥、化工、计算机、MP3、手机、建筑业、汽车等等，都产生了一次又一次的经济波浪。 在自由竟争的市场经济中，从生产者、消费者两方面来讨论商品生产随价格变化的规律，即讨论生产数量与产品价格之间的关系。 市场经济中的蛛网模型 市场经济中的一个典型现象： 供大于求 价格下跌 生产者减产 供不应求 价格上升 生产者增产 这样的震荡有两种发展趋势：振幅越来越大导 致经济崩溃；振幅趋于平稳。 推出新品 下面设法建立模型来描述这个震荡过程，以及 影响其发展趋势的因素。 一、图形法建模 记 x 为生产数量，y 为产品单价。 从消费者的角度出发，价格是数量的减函数： y = f (x)——需求函数，反映消费者对商 品的需求。 从生产者的角度出发，数量是价格的增函数： x = g(y) ——供应函数，与生产者的生产 能力、经营水平有关。 蛛网模型 时间是连续变化的，但有些商品是有季节性的， 比如一些农产品、牲畜等商品。 下面我们可以将时间按照商品的生产周期离散化处理。k = 1,2,…… 记 xk, yk分别为第 k 时段商品的产量与价格。 在同一坐标系中画出需求函数和供给函数： 问题：k??时，Pk(xk, yk)的变化趋势如何？ 图中两条曲线有一交点，不妨记之为P0(x0, y0)，即蛛网模型差分方程组的平衡点。 如果 f 、g 是图中的情形， 那么给定一个初始状态，最 终经济将趋于稳定. 注