复习：一维随机变量函数的分布.ppt

第四节 随机变量函数的分布 一、问题的提出 在实际中，人们常常对随机变量的函数 更感兴趣. 求截面面积 A= 的分布. 例如，已知圆轴截面直径 D 的分布， 设随机变量X 的分布已知，Y=g (X) (设g是连续函数），如何由 X 的分布求出 Y 的分布？ 下面进行讨论. 这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的. 二、离散型随机变量函数的分布 解： 当 X 取值 1，2，5 时， Y 取对应值 5，7，13， 例1 设r.v.X的分布律为 求 Y= 2X + 3 的概率函数. 而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生 的事件，两者具有相同的概率. 故 X p Y p 如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当 并项即可. 一般，若X是离散型 r.v ，X的分布律为 则Y=g(X)的分布律为 X p Y p 如： X的分布律为 则 Y=X2 的概率函数为： X p Y p Y p 即 Y的分布律为 三、连续型随机变量函数的分布 解：设Y的分布函数为 FY(y)， 例2 设 X ~ 求 Y=2X+8 的概率密度. FY(y)=P(Y y ) = P (2X+8 y ) =P( X ) = FX( ) 于是Y 的密度函数 1、一般方法 故 注意到 0 x 4 时， 即 8 y 16 时， 此时 Y=2X+8 例3 设 X 具有概率密度 ,求Y=X2的概率密度. 求导可得 当 y0 时, 注意到 Y=X2 0，故当 y 0时， 解： 设Y和X的分布函数分别为 和 ， 若 则 Y=X2 的概率密度为： 此时称Y服从自由度为1的 分布。记为 从上述两例中可以看到，在求P(Y≤y) 的过程中，关键的一步是设法从{ g(X) ≤ y }中解出X,从而得到与 {g(X) ≤ y }等价的X的不等式 . 例如，用 代替 {2X+8 ≤ y } { X } 用 代替{ X2 ≤ y } 这样做是为了利用已知的 X的分布，从而求出相应的概率. 这是求r.v的函数的分布的一种常用方法. 通常称为分布函数法。 若X～f(x),-?x+?,Y=g(X)为随机变量X的函数，则可先求Y的分布函数 FY (y) ＝P(Y?y)＝P(g(X) ?y) 然后再求Y的密度函数 分布函数法的步骤： 下面给出一个定理，在满足定理条件时可直接用它求出随机变量函数的概率密度 . 2、公式法： 其中， 此定理的证明与前面的解题思路类似. x=h(y)是 y=g(x)的 反函数 定理 设 X是一个取值于区间[a,b]，具有概率 密度 f(x)的连续型r.v,又设y=g(x)处处可导，且 对于任意x, 恒有 或恒有 ，则 Y=g(X)是一个连续型r.v，它的概率密度为 如 例2 设 X ~ 求 Y=2X+8 的概率密度. 注：1 只有当g(x)是x的单调可导函数时，才可用以上公式推求Y的密度函数。 2 注意定义域的选择 例４已知X?N(?,?2),求 解： 的概率密度。 关于x严单,反函数为 故 例5 设随机变量X的概率密度为 求Y=sinX的概率密度. 当 y 0时, 当 y 1时, 当 时 故 解：注意到, 不合定理条件 =P(0 X arcsiny)+P( - arcsiny X ） 解：当0y1时, 例5 设随机变量X的概率密度为 求Y=sinX的概率密度. 当0y1时, 解： =P(0 X arcsiny)+P( - arcsiny X ） 而 求导得: 或 对于连续型随机变量，在求Y=g(X) 的分布时，关键的一步是把事件 { g(X)≤ y } 转化为X在一定范围内取值的形式，从而可以利用 X 的分布来求 P { g(X)≤ y }. 这一讲我们介绍了随机变量函数的分布. 练习１ 设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布，求Y=-2lnX的概率密度. 解： 在区间(0,1)上,函数lnx0, 故 y=-2lnx0, 于是 y在区间(0,1)上单调下降，