第五章函数-2nd-zhou.ppt

*/46 基数 证明：只需证 即可。 定义g: 为 显然g是双射的，所以 例：试证 的基数是 。 */46 作业 P110 13,14,17(2)(4),18(2)(3),21 * 说明，可以用反函数的相反次序的合成，来表达合成函数的反函数。 */46 第五章 函数 */46 回顾 函数的概念与性质 注意定义与传统定义的区别 函数的描述方法 关系描述：定义（文字描述） 关系图 关系矩阵 函数的合成与性质 特殊函数 满射、单射、双射 两条性质 恒等函数 */46 5.4反函数 可以用关系的合成直接定义了函数的合成。那么，能否用关系的逆关系直接定义函数的反函数呢？ 例：考察函数f: Z→Z; f={i,i2|i ∈Z} 于是 f-1={i2,i|i ∈Z} 显然，f-1不是从Z到Z的函数。因此，不能直接用关系的逆关系来定义函数的反函数。 */46 反函数 定义：设f: X→Y是一个双射函数。于是f的逆关系是f的反函数（或称逆函数），并记作f-1。对于f来说，如果存在f-1，则函数f是可逆的。 注意：仅当f是双射函数时，才有对应于f的反函数 f-1。 定义：若存在函数g: Y→X，使得g?f=IX，则称g为f的左逆；若存在函数g: Y→X，使得f?g=IY，则称g为f的右逆。 */46 反函数 例：在自然数集合上定义四个函数 可以证明 可见，g1和g2都是f1的右逆，而f1和f2又都是g1的左逆。此例说明，一个函数的左逆和右逆不一定是唯一的。 */46 反函数 定理：设f: X→Y是一个双射函数。于是，反函数f-1也是一个双射函数，并且是从Y到X的函数。 */46 反函数 定理：如果函数f: X→Y是可逆的，则有 证明：设x∈X和y∈Y，如果f(x)=y，则会有f-1(y)=x，于是能够得到 因此应有f-1?f=IX。与此类似，还可得出 于是应有f ? f-1=IY 。 注意：函数f和f-1的合成，总会生成一个恒等函数，由于合成的次序不同，合成函数的值域或者是集合X，或者是集合Y。 */46 反函数 定理：如果f是个双射函数，则应有(f-1)-1=f 证明：假设x,y ∈ (f-1)-1，于是有 由x,y的任意性可知，(f-1)-1=f */46 反函数 定理：给定函数f: X→Y和g: Y→Z，并且f和g都是可逆的。于是应有 证明： 得证。 */46 反函数 例：给定集合X={1,2,3}，Y={a,b,c}和Z={α,β,γ}设函数f: X→Y和g: Y→Z分别为：f={1,c,2,a, 3,b}，g={a, γ ,b, β ,c, α }试说明(g?f)- 1=f-1 ?g-1。 解： */46 5.5特征函数 用一种很简单的函数来确定集合与集合间的关系，这种函数就是特征函数。 定义：设X为任意集合，Y?R，f和g是从X到Y的函数。 f≤g表示，对每个x∈X，皆有f(x)≤g(x)。 f+g：X→Y ，对每个x∈X，皆有(f+g)(x)=f(x)+g(x)，称f+g为f和g的和。 f-g： X→Y ，对每个x∈X，皆有 (f-g)(x)=f(x)-g(x)，称f-g为f和g的差。 f*g： X→Y ，对每个x∈X，皆有(f*g)(x)=f(x)*g(x)，称f*g为f和g的积。 */46 特征函数 定义：设E为全集，A? E，ΨA为如下定义的从E到{0,1}的函数： 称ΨA(x)为集合A的特征函数。 */46 特征函数的性质 */46 特征函数的性质 证明：当 时， ，由于 ，于是可能有这样几种情况： a) 使 ， 使 ，于是 b) 但 ，此时也有 c) 并且 ，此时 当 时， ，而 可得 即当 时， 得证。 */46 特征函数的性质 */46 特征函数 例：用特征函数证明 及 解： 故 因此， */46 5.6基数 有限集合的基数是集合中不同元素的个数，无限集合呢？ 定义：设A和B是两个集合。从A到B如果存在一个双射函数f: A→B，则称A和B是等位的或等势的，记作A～B，读作A等势于B。 例：设集合N={0,1,2,…}，N1={0,2,4,6,…