第五章大数定理与中心极限定理.ppt

第五章 大数定律与中心极限定理 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科。随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来。也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象。 研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究. 极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种: 下面我们先介绍大数定律 1.解决大量随机现象平均结果稳定的大数定理 表现正态分布在理论上、应用上重要性的 中心极限定理 字母使用频率 生产过程中的 废品率 大量抛掷硬币 正面出现频率 大量的随机现象中平均结果的稳定性 大数定律的客观背景 …… §5.1 大数定律 定理 1 （独立同分布下的大数定律） 设X1,X2, …是独立同分布的随机变量 序列，且 EXi = ， DXi = ， i=1,2,…, 则对任给 0, 几个常见的大数定律 定理表明：当n足够大时， 故将来在数理统计中，可用样本均值来估计总体均值。 定理2（贝努里大数定律） 设nA是n重贝努里试验中事件A发生的 次数，p是事件A发生的概率，则对任给的ε 0，有： 或 贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率nA/n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小。 贝努里大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法。 定理 3（辛钦大数定律） 设随机变量序列 X1, X2, … 独立同分布，具有有限的数学期 EXi=μ, i=1,2,…， 则对任给ε 0 ， 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一： 平均结果的稳定性 它是随机现象统计规律的具体表现。 大数定律在理论和实际中都有广泛的应用。 中心极限定理的客观背景 在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响. 例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响. §5.2 中心极限定理 自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见。 观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大。则这种量一般都服从或近似服从正态分布。 由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们不研究n个随机变量之和本身，而考虑它的标准化的随机变量 的分布函数的极限。 可以证明，满足一定的条件，上述极限分布是标准正态分布. --------中心极限定理 在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理。 我们只讨论几种简单情形。 下面给出的独立同分布随机变量序列的中心极限定理，也称林德伯格-列维（ Lindberg-Levy ）定理。 定理 4（独立同分布下的中心极限定理） 设X1,X2, …是独立同分布的随机 变量序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1,2,…，则 当 n 很大时，可以求出近似分布: 定理表明，当n充分大时，n个具有相同期望和方差的独立同分布的r.v之和,(一般分布很难求出),但可以认为近似服从正态分布。 中心极限定理的应用 例1 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布。现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的. 求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率。 解: 设第 i 只元件的寿命为Xi , i=1, 2, …, 16 由题给条件知，诸 Xi 独立， EXi =100, DXi =10000 16只元件的寿命的总和为 由中心极限定理： 1600 所以 P (Y 1920) = 1-P( Y? 1920 ) 例 已知在某十字路口，一周事故发生数的 数学期望为2.2，标准差为1.4 （1）以 表示一年（52周）此十字路口事故发生数的算术平均，试用中心极限定理求 的极限分布，并求 （2）求一年的事故发生数小于100的概率 解： 棣莫佛－拉普拉斯定理（二项分布的正态近似）是上述定理的特殊情况。 定理 5 (棣莫佛－拉普拉斯定理） 设随机变量 服从参数n, p(0p1)的二项分布，则对任意x，有 定理表明， 当n很大，服从二项分布随机变量 可近似认为服从正态分布： 例2 一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于3?的概率p＝1/3，若船舶遭受了90 000次波浪冲击，问其中有29 500～30 500次 纵摇角大于3?的概率是多少？ 解： 在90 000次波浪冲击中纵摇角度大于3?的次数记为X， 且有 X～