第五章抽样估计3.ppt

* * 回顾：区间估计的一般步骤: 寻找参数θ的一个好的点估计量T; 2. 寻找θ和估计量T 的函数U(θ,T),且分布已知; 3. 由P(a≤U(θ,T)≤b)=1-α查表得a, b ; 4. 对“a ≤U(T,θ)≤b”作等价变形,得到 则 就是θ在1-α下的置信区间. 目标要求 1、了解正态总体方差的区间估计 2、熟悉大样本二项分布、泊松分布总体参数的区间估计 3、了解小样本二项分布、泊松分布总体参数的区间估计 三、正态总体方差的区间估计 标准型：若总体X~N(μ,σ2)，且μ,σ2未知，x1,x2,…xn是来自总体的样本值，求σ的置信度1-α的置信区间。 (3) 对给定置信水平1-α α/2 α/2 1-α f(x) 解(1)选σ2 的点估计为S2 所以σ2 的1-α置信区间为 总体标准差σ的1-α置信区间为 例14 从某地随机抽取13人，测得血磷值为1.67,1.98,2.33,2.34,2.5,3.6,3.73,4.14,4.17,4.57,4.82,5.78，若血磷值近似服从正态分布,求总体方差σ2的0.9置信区间. 解 n=13,自由度df=12 当1-α=0.9时，α=0.1, 查附表6 得 故σ2的0.9置信区间为（0.971,3.906). §5.4 二项分布、泊松分布总体参数的区间估计 前面介绍的区间估计方法都是正态总体的情况，解决的也是计量资料问题。 本节讨论总体服从二项分布和泊松分布的情况，解决计数资料参数的区间估计问题。 一、小样本精确估计方法（n≤50) 二、大样本正态近似估计方法（n50) 1、二项分布参数P的区间估计 总体(概)率P：具有某种特征的个体数与总体数的比率，如有效率、发病率。 总体率一般未知，需要根据样本值进行区间估计。 样本(概)率p: 具有某种特征的个体数占样本容量的比率。 重复抽取n个个体可看作n重贝努利试验，则具有某种特征的个体数X~B(n，P) 。 一、小样本精确估计方法（n≤50) 在小样本情况下，用公式直接计算很复杂，通常通过查表得到。 只要给出n,k 和α(常用0.05及0.01)，就可从附表9中查出总体率P的1-α置信区间. 例17 设用某种药物治疗近视眼,随机抽取样20例作为样本，结果12例有效，求总体有效率的0.95的置信区间. 解 显然,是二项分布参数P的区间估计 n=20, k=12, 1-α=0.95 查附表9得0.95的置信区间(0.361,0.809) 2、泊松分布参数λ的区间估计 设总体服从参数λ的泊松分布， x1,x2,…xn是来自总体的样本值 （xi 为第i次抽样事件发生的次数，注意与二项分布中xi的区别）。 样本总计数--各次试验事件发生次数之和， 在小样本情况下，通常也是通过查表得到。 只要给出样本总计数X和α，就可从附表10中查出总体参数nλ的1-α置信区间，将其上下限再除以n即得参数λ的1-α置信区间。 例18 从一份充分混合的井水中随机抽取3 次水样(每次1ml)，经检查有20只细菌，求每毫升井水所含细菌数的0.99的置信区间。 解 井水含细菌是稀有事件，则本题为泊松分布均数λ的区间估计 。 设 xi（i=1,2,3)为第i次抽样所含细菌数，则 X=x1+x2+x3=20, n=3, 1-α=0.99。 查附表10得，总体参数 3λ的0.99置信区间 (10.35,34.67) 则每毫升井水所含细菌数的0.99的置信区间 (3.45,11.56)。 二、大样本正态近似估计方法 （计数样本容量n50) 1、二项分布参数P的区间估计 从总体中抽取容量为n的样本，可看做n重贝努利试验，所以具有某种特征的的样本数X~B(n,P)，且 E(X)=nP, V(X)=nP(1-P)，则样本率 这说明样本率p是总体率P的无偏估计量。 由中心极限定理，在大样本情况下(n足够大)，样本率p 近似服从正态分布N(P,P(1-P)/n). 则样本率p 的标准化随机变量 为计算方便，在大样本情况下(n足够大)，常用样本率p代替总体率P计算样本率p 的标准差，即 所以总体率P的1-α置信区间为 （3）对给定置信水平1-α (1) 总体率P 以样本率p为点估计量。 用求区间估计的一般步骤求出P的置信区间： 例19 随机抽查了某校200名沙眼患者，经治疗有168名治愈，求总体治愈率的0.95的置信区间. 解 样本治愈率p=168/200