第五章特征值和特征向量.ppt

* 第五章 矩阵的特征值和特值向量 §1 矩阵的特征值和特征向量 矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中重要个概念之一, 它有着广泛的应用. 本章将引进特征值和特征向量的概念及其计算. 并给出将矩阵对角化的方法. 一. 定义和求法 定义5.1 设A是n阶方阵, 如果数?0和n维非零列向量?满足关系式 A?=?0 ? 则称?0为A的特征值, ?为A的属于?0的一个特征向量. 如果A是奇异矩阵(|A|=0), 则齐次线性方程组Ax=0有非零解, 若记?为Ax=0的非零解, 则有 可见, ?0=0为奇异矩阵A的特征值, 方程组Ax=0的非零解都是A的属于特征值?0=0的特征向量. A?=0=0? 一般地, 由A?=?0 ?可得 (?0E ? A)?=0 可见, ?是n元齐次线性方程组 (?0E ? A)x=0 的非零解. 所以有|?0E ? A|=0. 定义5.2 设A是n阶方阵, ?是参数, 则行列式 称为方阵A的特征多项式. 称det(?E ? A)=0为方阵A的特征方程. A的特征值就是特征方程的解, n阶方阵A有n个特征值. A的属于特征值?i的特征向量就是齐次线性方程组 (?E ? A)x=0 的所有非零解. 的特征值和特征向量. 解 A的特征多项式为 =(?-1)[(?-2)2-1]=(?-1)2(?-3) 所以A的特征值为?1=?2=1, ?3=3. 对?1=?2=1, 解方程(E-A)x=0, 由于 例1 求矩阵 所以k?1(k≠0)是属于?1=?2=1的全部特征向量. 对?3=3, 解方程(3E-A)x=0, 由于 得同解方程: , 基础解系为?2=(-1, 1, 1)T. 所以k?2(k≠0)是属于?3=3的全部特征向量. , 基础解系为?1=(0,0,1)T. 得同解方程: 的特征值和特征向量. 解 A的特征多项式为 =(?-1)[(?-2)2-1]=(?-1)2(?-3) 所以A的特征值为?1=?2=1, ?3=3. 对?1=?2=1, 解方程(E-A)x=0, 由于 例2 求矩阵 所以属于?1=?2=1的全部特征向量为 K1?1+k2?2 (k1,k2 不同时为0) 对?3=3, 解方程(A-3E)x=0, 由于 得同解方程: , 基础解系为?3=(1, -1, 1)T. 所以k?3(k≠0)是属于?3=3的全部特征向量. , 基础解系为?1=(1,1,0)T, ?2=(0,0,1)T. 得同解方程: 设方阵A可逆, 且λ是A的特征值, 证明1/λ是A-1的特征值. 例3 证 首先证明λ≠0. 用反证法: 假设λ=0是A的特征值, 则 再设?是A对应特征值λ的特征向量 , 则 A?=λ? A-1 ? =1/λ? 所以1/λ是A-1的特征值, 而且与A有相同的特征向量. 类似地, 若λ是A的特征值, 则λk是Ak的特征值. ?0E - A?=?-A?=0 , 这与A可逆矛盾, 故λ≠0. 一般地, 若λ是A的特征值,则?(λ)=a0+a1?+…+am?m是?(A)=a0E+a1A+…+amAm的特征值. 解 由于 因此A*必有特征值：1 所以，A*=－A－1 故，应选“B”。 二. 特征值和特征向量的性质 由于 =?n-(a11+a22+…+ann)?n-1+…+(-1)n|A| 利用多项式方程根与系数的关系可得: 定理5.1 设?1,?2,…,?n是n阶方阵A 的全部特征值, 则 ?1+?2+…+?n=a11+a22+…+ann ?1?2…?n