第五章相似矩阵及二次型2.ppt

第五章 相似矩阵及二次型 第一节 向量的内积 一、内积的定义及性质 长度的基本性质 四、正交矩阵 3. 正交矩阵的判定 4、正交变换 定义 例4 证 2. 特征值的和、积公式 3. 特征值与矩阵运算的关系 例5 三、特征向量的相关性 例 (2). 在复数范u围内, n 阶方阵有n 个特征值. 例1. 求对角方阵 0 0 的特征值. 解: 0 0 求方阵A的特征值和特征向量的步骤： （1） 求出特征方程 的所有解 ，它们就是A的全部特征值 （2） 分别把A的每个特征值 代入方程组 得到 分别求出它们的基础解系： 则所有向量 的非零线性组合就是A的属于 的全部特征向量 例 求A= 的特征值与特征向量 解 （1） 求特征值 由 则 A的特征值 和 （2）求特征向量 对于 即： 也即 所以对应的特征向量可取为： 因此属于特征值3的全部特征向量为 对于 即 也即 所以对应的特征向量可取为： 其中 k 取遍所有非零数 . 因此属于 的全部特征向量是 例 求A 的特征向量 解 求特征值 求特征向量 对于, A的特征值 （二重）和 即： 由于系数矩阵的秩为2，故基础解系只有一个 因此属于 的全部特征向量是 非零解，解得 对于 同上方法解得 其中 k 取遍所有非零数 因此属于 的全部特征向量是 例 求 的特征值和特征向量 解 求特征值 所以A的特征值为 求特征向量 将 代入 得 作为基础解系，于是A的全部特征向量为 取单位向量组 这个方程组的系数矩阵是零矩阵，所以任意n个线性无关的向量都是它的基础解系， 已知矩阵 题 在求行列式时特别有用 A 可逆 ? 特征值均不为零 题.设矩阵A和B有相同的特征值，其中 求a,b的值 重要的公式 1 40 A+3E 的特征值：4, 2, 5 利用特征值求行列式 4 , 1 , 4 . 题 证 定理 4 再左乘 A2 … … ， 将上列各式合写为矩阵的形式： 左乘 A 定理3. * 定义1 内积 内积的运算性质 长度， 定义2 二、向量的长度及性质 内积性质(iv) (1)(非负性) (2)(齐次性) (3) (三角不等式) 数乘的长度 = 数的绝对值乘长度 许瓦兹不等式和夹角 许瓦兹不等式: 定义3. 非零n维向量 规定为: 解: 注意: 三、向量的正交性及其性质 证明 问题: 线性无关的向量组是否为正交组? 例1 已知三维向量空间中两个向量 正交，试求 使 构成三维空间的一个正交 基. ４ 向量空间的正交基 即 解之得 由上可知 构成三维空间的一个正交基. 则有 解 ５ 规范正交基 例如 同理可知 ６ 求规范正交基的方法 第二步：单位化. 取 例２ 用施密特正交化方法，将向量组 正交规范化. 解 先正交化， 取 以上所讨论的正交规范基的求法, 通常称为施密特(Schmidt)正交化过程. 再单位化， 得正交规范向量组如下 例3 解 把基础解系正交化，即为所求．亦即取 1. 定义6 2. 简单性质 行 则称A 为n 阶正交矩阵. 结论 方法一、 用定义 方法二、 用结论 正交 方法二. P 的行向量是单位向量. P 的行向量两两正交. 解. 方法一. 例4 设 A 为正交阵，B 为与 A 同阶的对称阵，求 解 由条件知 则任意两个变换后的向量 y1 , y2 的内积: 正交变换。 正交变换不改变向量的内积和线段的长度 旋转变换是 正交变换 镜面反射 是正交变换 §2. 特征值与特征向量 一、特征值和特征向量的概念 二、特征值和特征向量的计算方法 三、特征值和特征向量的性质 方程组: 一、特征值和特征向量的概念 称为 A 的特征阵. 行列式: 特征多项式. 称为A的特征方程. 定义8. 存在 n 维非零列向量 X , 使 ① 特征值. 特征向量. 特征向量非零。 注意： 如对 及 则数 是矩阵 A 特征值, 是矩阵 A 的对应于特征值 2 的特征向量 有 (1). 证明: X≠0. 按定义 非零解. 根据定义8，①式可写成: ② 二、特征值和特征向量的计算方法