第五章矩阵分析基础.ppt

例5: 设A＝(aij)∈M. 定义 * * 第五章 矩阵分析基础 §5.1 向量和矩阵的范数 1．向量的范数 定义1：设X ? R n，??Ｘ?? 表示定义在Rn上的一个实值函数， 称之为X的范数，它具有下列性质： （3）三角不等式：即对任意两个向量X、Y? R n，恒有 (1) 非负性：即对一切X ? R n，X ? 0, ??Ｘ?? 0 (2) 齐次性：即对任何实数a ? R，X ? R n， 设X = (x1, x2,…, xn)T，则有 （1） （2） （3） 三个常用的范数： 范数等价: 设‖·‖A 和‖·‖B是R上任意两种范数，若存在 常数 C1、C2 0 使得 , 则称 ‖·‖A 和‖·‖B 等价。 定理1：定义在Rn上的向量范数 是变量X分量的 一致连续函数。 定理2：在Rn上定义的任一向量范数 都与范数 等价， 即存在正数 M 与 m ( Mm ) 对一切X?Rn，不等式 成立。 推论：Rn上定义的任何两个范数都是等价的。 对常用范数，容易验证下列不等式： 定义2：设给定Rn中的向量序列{ }，即 其中 若对任何i (i = 1, 2,…, n )都有 则向量 称为向量序列{ }的极限，或者说向量序列{ } 依坐标收敛于向量 ，记为 定理3：向量序列{Xk}依坐标收敛于X*的充要条件是 向量序列依范数收敛与依坐标收敛是等价的。 2．矩阵的范数 定义3：设A为n 阶方阵，Rn中已定义了向量范数 ， 则称 为矩阵A 的算子范数或模， 记为 。即 矩阵范数的基本性质： （1）当A = 0时， ＝0，当A ? 0时， 0 （2）对任意实数k 和任意A，有 （3）对任意两个n阶矩阵A、B有 （5）对任意两个n阶矩阵A、B，有 （4）对任意向量X?Rn，和任意矩阵A，有 证明：这样定义的非负实数不是相容的矩阵范数. 证明：设 从而 定理4：设n 阶方阵A = (aij)n?n，则 （Ⅰ）与 相容的矩阵范数是 （Ⅱ）与 相容的矩阵范数是 其中?1为矩阵ATA的最大特征值。 （Ⅲ）与 相容的矩阵范数是 上述三种范数分别称为矩阵的1-范数、2-范数和∞-范数。 可以证明, 对方阵 和 ，有 (向量|| · ||2的直接推广) Frobenius范数: 注：（1） （2） 矩阵的Frobenius范数不是算子范数。 3．矩阵的范数与特征值之间的关系 定理5：矩阵A 的谱半径不超过A的任一相容矩阵范数，即 定义4：矩阵A 的诸特征值的最大绝对值称为A的谱半径， 记为： 并且如果A为对称矩阵，则 注:Rn×n中的任意两个矩阵范数也是等价的。 定义5： 设|| · ||为Rn×n上的矩阵范数，A,B∈Rn×n 称 ||A-B||为A与B之间的距离。 定义6：设给定Rn×n中的矩阵序列{ }，若 则称矩阵序列{ }收敛于矩阵A，记为 定理6 设B∈Rn×n，则由B的各幂次得到的 矩阵序列Bk, k=0,1,2…)收敛于零矩阵 （ ）的充要条件 为 。 4. 矩阵的条件数 定义5 设矩阵 为非奇异矩阵，则称 为矩阵 的条件数，其中 是矩阵的算子范数。 对矩阵 的任意一个算子范数 有 (2) cond ( kA )= cond ( A ) , k 为非零常数; (3)若 ， 则 注: cond (A) 与 所取的范数有关 常用条件数有： cond (A)2 特别地，若 A 对称，则 cond (A)1 =‖A‖1 ‖ ‖1 cond (A)? =‖A‖? ‖ ‖? § 5.2 初等矩阵 初等矩阵对线性方程组的研究起着重要的作用，本节介绍 一般形式的初等矩阵，它是矩阵计算的基本工具。 5.2.1 初等矩阵 定义6 设向量 ，则形如 的矩阵叫做实初等矩阵，其中 是 阶单位矩阵， 向量 ， 为初等下三角阵。 定理5.2.1 初等下三角阵 具有如下性质： (1) ； 5.2.2 初等下三角矩阵 定义7 令向量 则称矩阵 (3) 任何一个单位下三角阵 都可分裂成 因此，对任一非奇异下三角阵 ，都可分裂成一个非奇异 对角阵和若干个下三