第五章线性方程组的直接解法.pptVIP

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2017-05-30 发布于北京
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第五章线性方程组的直接解法.ppt

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解方程组Ax=d分为两步，即求解Ly=d和Ux=y，计算公式如下：上述方法为求解三对角方程组的追赶法，也称Thomas算法. 上一页下一页返回追赶法公式简单，计算量和存储量都小，整个求解过程只需要5n-4次乘除运算。上一页下一页返回三、平方根法 ——对称正定矩阵的分解法将对称正定阵 A 做 LU 分解记为定理设n阶对称正定矩阵A，则存在唯一的单位下三角阵L及对角阵D 使得。称为矩阵A 的乔累斯基分解上一页下一页返回定理设矩阵A对称正定，则存在唯一的对角元为正的下三角阵 L，使得。称为对称正定矩阵A 的乔累斯基分解利用乔累斯基（Cholesky）分解式来求解Ax=b的方法也称Cholesky方法或平方根法 §3 方程组的性态与误差估计上一页下一页返回一、矩阵的条件数例，考查以下三个方程组及其准确解其准确解其准确解其准确解可以看到，后两个方程组与第一个方程组相比，系数矩阵或右端向量仅有0.0005以下的误差，但准确解却相差很大。对这样的方程组，无论用多么稳定的算法求解，一旦计算中产生误差就使解面目全非，所以该方程组的性态很差。上一页下一页返回定义：若方程组Ax=b的系数矩阵A与右端向量b的微小变化（小扰动）,将引起解向量x产生巨大变化，则称此方程组为病态方程组，其系数矩阵A称为病态矩阵，否则称Ax=b为良态方程组，称A为良态矩阵 . 方程组的病态程度与Ax=b对A和b的扰动的敏感程度有关。 * 第五章线性方程组的直接解法 /* Direct Methord for Solving Linear Systems */ 上一页下一页返回第一节 Gauss消去法第二节直接三角分解方法第三节方程组的性态与误差估计求解上一页下一页返回 §1 Gauss消去法一、高斯顺序消去法思路首先将A化为上三角阵 /* upper-triangular matrix */，再回代求解 /* backward substitution */。 = 是一种古老的求解线性方程组的方法, 按自然顺序进行消元的方法. 上一页下一页返回例1 解方程组解：step1 消元上一页下一页返回 Step2 对上三角形方程进行回代求解, 得下面我们来一般性地讨论求解n阶线性方程组的高斯顺序消去法. 上一页下一页返回消元 Step 1：设，计算因子将增广矩阵/* augmented matrix */ 第 i 行 ? li1 ? 第1行，得到与(1)式等价的方程组上一页下一页返回 Step 2：一般第 k 次消元 (1≤k ≤n-1) 上一页下一页返回上一页下一页返回 Step 3：继续上述过程, 且设 aii（i-1）≠0(i=1,2,…,n-1),直到完成第 n-1 次消元, 最后得到与 A(0)x=b(0) 等价的三角形方程组 A(n-1)x=b(n-1). 将(1)式化为(2)式的过程称为消元过程. 上一页下一页返回回代定理若A的所有顺序主子式 /* determinant of leading principal submatrices */ 均不为0，则高斯消元无需换行即可进行到底，得到唯一解。注：事实上，只要 A 非奇异，即 A?1 存在，则可通过逐次消元及行交换，将方程组化为三角形方程组，求出唯一解。上一页下一页返回高斯顺序消去法流程图 F T k=k+1 F T 消元过程回代过程上一页下一页返回顺序消去法的缺点为当主元akk(k -1)=0时, 消元过程不能继续进行. 或者当akk (k -1) ≠0时, 虽然消元过程可以进行, 但若akk (k -1) ≈0时, 时, 会出现很小的数作除数的现象,使舍入误差增大,导致解的严重失真. 上一页下一页返回例：解方程组 /* 精确解为 */ 用Gauss消去法计算：二、主元素消去法上一页下一页