第五章随机样本和抽样分布.ppt

一、总体和样本 1.总体: 研究对象的全体,通常指研究对象的某项数量指标.我们常用X,Y,Z等大写字母来表示总体. 组成总体的每个基本单元叫做个体. 例如: 某学校全体女生的身高的全体是一个总体,而每一个女生的身高是一个个体. 由于每个个体的出现是随机的,所以个体可以看作一个随机变量,因此,随机变量的分布就是个体在总体中的分布,则总体就可以用一个随机变量及其分布来描述. 2.样本: 定义：设X是具有分布函数F的随机变量，若 是具有同一分布函数F的相互独立的随机变量,则称 为从总体X中得到的容量为n的简单随机样本，简称为样本，其观察值 称为样本值。 对于样本需要强调两点：ａ）样本并非一堆杂乱无章无规律可循的数据，它是受随机性影响的一组数据，因此，用概率论的话说，就是每个样本既可以视为一组数据，又可视为一组随机变量，这就是所谓样本的二重性。当通过一次具体的试验，得到一组观测值，这时样本表现为一是组数据；但这组数据的出现并非必然的，它只能以一定的概率（或概率密度）出现，这就是说，当考察一个统计方法是否具有某种普遍意义下的效果时，又需要将其样本视为随机变量，而一次具体试验得到的数据，则可视为随机变量的一个实现值。 ｂ）样本也不是任意一组随机变量，我们要求它是一组独立同分布的随机变量。同分布就是要求样本具有代表性，独立是要求样本中各数据的出现互不影响，就是说，抽取样本时应该是在相同条件下独立重复地进行。 例1 . 设一组抽奖券共10000张，其中有5张有奖。问连续抽取3张均有奖的概率为多少？ 为了讨论这个问题，不妨设 要求该事件的概率，实际上即是求联合概率分布 在 处的值。 二、理论分布与经验分布 1.总体 是一个随机变量，总体 的分布就称为理论分布 对于总体的分布函数（未知），设有它的样本 我们可以从样本出发，找到一个已知量来近似它，这就是经验分布函数. 2.直方图 ： 设 是总体的一个样本，又设总体具有概率密度 ，如何用样本来推断 ？注意到现在的样本是一组实数，因此，一个直观的办法是将实轴划分为若干小区间，记下诸观察值 落在每个小区间中的个数，根据大数定律中频率近似概率的原理，从这些个数来推断总体在每一小区间上的密度。 3.记 =落在小区间 中观察值的个数（频数），计算频率 ，列表分别记下各小区间的频数、频率。 4.在直角坐标系的横轴上，标出 各点,分别以 为底边，作高为 的矩形， 即得直方图 三、样本数字特征与统计量 定义1.4：设　　　　为来自总体X的一个样本，g 是　　　　的函数，若g是连续函数，且g中不含任何未知参数；则称 是一个统计量 设 是相应于样本 的样本值，则称 是 的观察值 样本标准差： 样本k阶（原点）矩： 样本方差: 一、样本均值的分布 统计量是样本的函数，它是一个随机变量，统计量的分布称为抽样分布。 定理2.1 设是 来自正态总体 的一个样本，则样本的任一确定的线性函数 也服从正态分布 二、 分布 2. 分布图 图描绘了 分布密度函数在 时的图形。可以看出，随着的增大， 的图形趋于“平缓”，其图形下面积的重心亦逐步往右下移动。 定理2.3：设 是来自正态总体 的样本，则样本方差 与样本均值 相互独立，且 （证明略） 三、 1. 分布图 从图形我们可看出,随着 的增大, 的密度曲线与 的密度曲线越来越接近，一般若 , 就可认为它基本与 相差无几了。 四、 分布 下图描绘了几种分布的密度函数曲线。 定理2.8:设 和 分别是来自正态 总体 和 的样本，且它们互相独立，则  一、标准正态分布的上侧