第五篇第4讲平面向量应用举例.ppt

求平面向量与三角函数的交汇问题的一般步骤： 第一步：将向量间的关系式化成三角函数式； 第二步：化简三角函数式； 第三步：求三角函数式的值或求角或分析三角函数式的性质； 第四步：明确表述结论． 解　(1)由题设，可得(a＋b)·(a－b)＝0， 即|a|2－|b|2＝0.代入a，b的坐标， 可得cos2α＋(λ－1)2sin2α－cos2β－sin2β＝0， 所以(λ－1)2sin2α－sin2α＝0，即sin2α[(λ－1)2－1]＝0. * 抓住3个考点 突破3个考向 揭秘3年高考 第4讲　平面向量应用举例 【2014年高考会这样考】 以平面向量的数量积为工具，考查其综合应用性问题，常与三角函数、解析几何等结合． 考点梳理 向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题． (1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b?_____________?______________. (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质 a⊥b?_______?_____________. 1．向量在平面几何中的应用 a＝λb(b≠0) x1y2－x2y1＝0 x1x2＋y1y2＝0 a·b＝0 (3)求夹角问题，利用夹角公式 与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识． 2．向量在三角函数中的应用 向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体． 3．向量在解析几何中的应用 一个手段 实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算． 两条主线 (1)向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合． (2)要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题． 【助学·微博】 A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．无法确定 答案　B 考点自测 A．一次函数且是奇函数 B．一次函数但不是奇函数 C．二次函数且是偶函数 D．二次函数但不是偶函数 解析　函数f(x)＝x2a·b＋(b2－a2)x－a·b， ∵a⊥b，∴a·b＝0，∴f(x)＝(b2－a2)x. ∵|a|≠|b|，∴b2－a2≠0， ∴f(x)为一次函数且是奇函数．故选A. 答案　A 2．(2013·银川模拟)若a，b是非零向量，且a⊥b，|a|≠|b|，则函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)是 (　　)． A．4,0 B．16,0 C．2,0 D．16,4 解析　设a与b夹角为α，∵|a|＝1，|b|＝2， ∴|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8－4|a||b|cos α＝8－8cos α， ∵α∈[0，π]，∴cos α∈[－1,1]，∴8－8cos α∈[0,16]， 即|2a－b|2∈[0,16]，∴|2a－b|∈[0,4]． 答案　A A．2 B．4 C．5 D．10 答案　D 答案　x＋2y－4＝0  A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 [审题视点] 根据向量式寻找△ABC边、角之间的关系． 考向一　向量在平面几何中的应用 答案　C 对于此类问题，一般需要灵活运用向量的运算法则、运算律，将已知条件等价变形，从而得到结论． 特别地，有的问题还需要依据几何图形选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，然后计算或证明． A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心 答案　C  (1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b＋c|的最大值； (3)若tan αtan β＝16，求证：a∥b. [审题视点] 根据平面向量的运算性质列式(三角函数式)，进而转化为三角恒等变换和三角函数性质问题． (1)解　因为a与b－2c垂直，所以a·(b－2c)＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0， 因此tan(α＋β)＝2. 考向二　向量在三角