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第六章 参数估计 §6.1 点估计的几种方法 §6.2 点估计的评价标准 §6.3 最小方差无偏估计× §6.4 贝叶斯估计× §6.5 区间估计 如何构造统计量 并没有明确的规定，只要它满足一定的合理性即可。这就涉及到两个问题： §6.1 点估计的几种方法 6.1.1 替换原理和矩法估计 例6.1.1 对某型号的20辆汽车记录其每加仑汽油的行驶里程(km)，观测数据如下： 29.8 27.6 28.3 27.9 30.1 28.7 29.9 28.0 27.9 28.7 28.4 27.2 29.5 28.5 28.0 30.0 29.1 29.8 29.6 26.9 经计算有 由此给出总体均值、方差和中位数的估计分别为: 28.695, 0.9185 和 28.6。 矩法估计的实质是用经验分布函数去替换总体分布，其理论基础是格里纹科定理。 例6.1.2 设总体服从指数分布，由于EX=1/?， 即? =1/ EX，故? 的矩法估计为 另外，由于Var(X)=1/?2，其反函数为 因此，从替换原理来看，?的矩法估计也可取为 s 为样本标准差。这说明矩估计可能是不唯一的，这是矩法估计的一个缺点，此时通常应该尽量采用低阶矩给出未知参数的估计。 例6.1.3 x1, x2, …, xn是来自(a,b)上的均匀分布U(a,b)的样本，a与b均是未知参数，这里k=2，由于 不难推出 由此即可得到a, b的矩估计： 6.1.2 极(最)大似然估计 定义6.1.1 设总体的概率函数为P(x;? )，将样本的联合概率函数看成? 的函数 称为样本的似然函数。 例6.1.6 设一个试验有三种可能结果，其发生概率分别为 现做了n次试验，观测到三种结果发生的次数分别为 n1 , n2 , n3 (n1+ n2+ n3 = n)，则似然函数为 其对数似然函数为 将之关于? 求导，并令其为0得到似然方程 解之，得 由于 所以 是极大值点。 例6.1.7 对正态总体N(?,? 2)，θ=(?,? 2)是二维参数，设有样本 x1, x2 , …, xn，则似然函数及其对数分别为 解此方程组，得? 的极大似然估计为 得出?2的极大似然估计 极大似然估计有一个简单而有用的性质：如果 是? 的极大似然估计，则对任一函数 g(? )，其极大似然估计为 。 该性质称为极大似然估计的不变性，从而使一些复杂结构的参数的极大似然估计的获得变得容易了。 例6.1.9 设 x1 , x2 , …, xn是来自正态总体N(? ,? 2) 的样本，则?和? 2的极大似然估计为 ，于是由不变性可得如下参数的极大似然估计，它们是: §6.2 点估计的评价标准 6.2.1 相合性 点估计量不可能等同于参数的真实取值。但根据格里纹科定理，完全可以要求估计量随着样本量的不断增大而逼近参数真值，这就是相合性 若把依赖于样本量n的估计量 看作一个随机变量序列,相合性就是 依概率收敛于?,所以证明估计的相合性可应用依概率收敛的性质及各种大数定律。 在判断估计的相合性时下述两个定理是很有用的。 定理6.2.1 设 是? 的一个估计量，若 则 是? 的相合估计， 注：由大数定律及定理6.2.2，我们可以看到： 矩估计一般都具有相合性。比如： 6.2.2 无偏性 定义6.2.2 设 是? 的一个估计， ? 的参数空间为Θ，若对任意的?∈Θ，有 则称 是? 的无偏估计，否则称为有偏估计。 例6.2.4 对任一总体而言，样本均值是总体均值的无偏估计。当总体k阶矩存在时，样本k阶原点矩ak是总体k阶原点矩? k的无偏估计。但对中心矩则不一样，譬如，由于 ，样本方差s*2不是总体方差? 2的无偏估计，对此，有如下两点说明： (1) 当样本量趋于无穷时，有E(s*2) ?? 2， 我们称 s*2 为? 2的渐近无偏估计。 (2