第六章 数理统计的基本概念.ppt

第六章 数理统计的基本概念 当n充分大时，t 分布近似N (0,1)分布。 但对于较小的n，t分布与N (0,1)分布相差很大。 3、F分布 定义: 设 X与Y相互独立，则称统计量 服从自由度为n1及 n2 的F分布，n1称为第一自由度，n2称为第二自由度，记作 ： F ~F ( n1 , n2 ) . 由定义可见， ~ F ( n2, n1) 若X~F(n1,n2)， X的概率密度为 X的数学期望为: 若n22 即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1. x y 一般地， 证： 令： 则 x y * * 从历史的典籍中，人们不难发现许多关于钱粮、户口、地震、水灾等等的记载，说明人们很早就开始了统计的工作。但是当时的统计，只是对有关事实的简单记录和整理，而没有在一定理论的指导下，作出超越这些数据范围之外的推断。 到了十九世纪末二十世纪初，随着近代数学和概率论的发展，才真正诞生了数理统计学这门学科。 数理统计学是一门应用性很强的学科。 它是研究怎样以有效的方式收集、 整理和分析受随机影响的数据，并对所考察的问题作出推断和预测，直至为采取决策和行动提供依据和建议。 几个实际问题： 1. 估计产品寿命问题: 根据用户调查获得某品牌洗衣机50台的使用寿命为，5，5.5，3.5，6.2，……..。根据这些数据希望得到如下推断： A．可否认为产品的平均寿命不低于4年？ B．保质期设为多少年，才能保证有95%以上的产品过关？ 2．商品日投放量问题：如草莓的日投放量多少合理？如何安排银行各营业网点的现金投放量？快餐食品以什么样的速度生产最为合理等等。 例 制衣厂为了合理的确定服装各种尺码的生产比例，需要调查人们身长的分布。现从男性成人人群中随机选取100人,得到他们的身长数据为: (1) 试推断男性成人身长X的概率密度 (2)若已知X服从正态分布N(?,?2), 试估计参数的?,?2值 已知“总体”的分布类型,对分布中的未知参数所进行的统计推断属于“参数统计”. ... 在数理统计中，不是对所研究的对象全体进行观察，而是抽取其中的部分进行观察获得数据，并通过这些数据对总体进行推断。 由于推断是基于抽样数据，抽样数据又不能包括研究对象的全部信息。因而由此获得的结论必然包含不肯定性。所以，在数理统计中必然要用到概率论的理论和方法。 可以说： 概率论是数理统计的基础，而数理统计是概率论的重要应用。但它们是并列的两个学科，并无从属关系。 1.总体 研究对象的全体称为总体， 总体中每个成员称为个体。 §1 .随机样本 然而在统计研究中，人们关心总体仅仅是关心其每个个体的一项(或几项)数量指标和该数量指标在总体中的分布情况。这时，每个个体具有的数量指标的全体就是总体。 某批 灯泡的寿命 该批灯泡寿命的全体就是总体 某品牌轿车百公里 耗油量 某品牌轿车百公里耗油量的全体就是总体 由于每个个体的出现是随机的，所以相应的数量指标的出现也带有随机性。从而可以把这种数量指标看作一个随机变量。 这样，总体就可以用一个随机变量及其分布来描述。 我们对总体的研究就是对一个随机变量的研究。 统计的任务,是根据从总体中抽取的样本，去推断总体的性质。 由于我们关心的是总体中的个体的某项指标(如人的身高、体重，灯泡的寿命,汽车的耗油量…) ，所谓总体的性质，无非就是这些指标值的集体的性质。 而概率分布正是刻划这种集体性质的适当工具。因此在理论上可以把总体与概率分布等同起来。 在数理统计中，总体这个概念的本质是： ———总体就是一个概率分布。 2. 样本 为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程称为 “抽样”，所抽取的部分个体称为样本。样本中所包含的个体数目称为样本容量。 从某品牌轿车中抽5辆进行耗油量试验 样本容量为5 容量为 n 的样本可以看作 n 维随机变量: (X1,X2,…,Xn) 但是，一旦取定一组样本，得到的是n个具体的数 ( x1 , x2 , … , xn )，称为样本的一次观察值，简称样本（观察）值 。 由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断，为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息，必须考虑抽样方法。 最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽样”，它要求抽取的样本满足下面两点: 1. 代表性： X1 , X2 , … , Xn 中每一个与所考察的总体有相同的分布。 2. 独立性： X1 , X2 , … , Xn 是相互独立的随机变量。 由简单随机抽样