第六章中心力场12.ppt

直角坐标系 采用直角坐标系，三维各向同性谐振子可分解为ω相同的三个彼此独立的一维谐振子 第*页 本征函数可以分离变量， 相当于选取（Hx, Hy, Hz）为对易守恒量完全集，共同本征态为 相应的能量本征值为 第*页 能级简并度 给定 N， nx = 0, 1, 2, ……， N-1, N ny + nz = N, N-1, N-2, ……， 1, 0 (ny , nz ) 种数 N+1, N, N-1, ……， 2, 1 能级简并度为 练习 （习题5.7） 中心力场V(r)中粒子运动的径向方程可以写为 第*页 利用Feynman-Hellmann 定理（p.95, 习题4.7）证明对处在能量本征态下的三维各向同性谐振子， 第6章 中心力场@ Quantum Mechanics Fang Jun 第6章 中心力场@ Quantum Mechanics Fang Jun 第6章 中心力场@ Quantum Mechanics Fang Jun Review 微观全同粒子具有不可分辨性，任何两个粒子交换，量子态不变, 第*页 全同粒子波函数，要么对称（Bose子），要么反对称（Fermi 子）。 P表示对不同单粒子态的粒子进行对换的置换。 第*页 交换任意两个粒子，等价于行列式中相应两列对调，由行列式性质可知，行列式要变号，故是反对称化波函数。 Pauli 不相容原理 不能有两个全同的Fermi子处在相同的状态。 第六章 中心力场 教学内容 第*页 §1 中心力场中粒子运动的 一般性质 §2 无限深球方势阱 §3 三维各向同性谐振子 §4 氢原子 §1 中心力场中粒子运动的 一般性质 一、角动量守恒与径向方程 何谓中心力场 粒子的受力经过某个固定的中心（力心），其势能只是粒子到力心的距离r的函数，即V (r)，为球对称势。（例如Coulomb场） 第*页 设质量为?的粒子在中心力场中运动，则哈密顿量算符表示为： 经典理论中，中心力场中运动粒子角动量守恒，粒子运动为平面运动。 对于势能只与 r 有关而与θ, ? 无关的有心力场，使用球坐标求解较为方便。 第*页 [l, H] = 0, [l2, H] = 0 l及l2均为守恒量 径向动能 离心势能 取体系(自由度3)的力学量完全集为 第*页 求解中心力场中粒子的能量本征方程 径向方程可写为： 求解方程时，可作以下替换，使得计算更方便，令： 第*页 不同中心力场V(r)，不同Rl(r) （χl(r)）； 方程中没有出现磁量子数m，能量本征值E与m无关。 与l有关，给定l，m有2l+1个取值，中心力场的简并度一般为2l+1. 选取对易守恒量完全集(H, l2, lZ)之后，同一能级的各简并态就可标记清楚。 一定边界条件下求解径向方程，可求得能量本征值E及本征函数。 非束缚态，E连续变化。 束缚态，E取离散值。 由于束缚态下边界条件，出现径向量子数nr, nr= 0, 1, 2, …，（代表波函数节点数），E依赖于nr和l，记为Enr l， l一定，E随nr增大而增大。 nr一定，E随l（离心势能）增大而增大。 光谱学习惯，把（l=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6）的态记为s, p, d, f, g, h, i. 第*页 径向波函数在r→0邻域内的渐进行为 假定V(r) 满足 第*页 变为 设 当r→0， 在任何体积元找到粒子的概率应为有限值。 当r→0， 若Rl(r) ∝1/ra，要求a3/2. 当l=1时， Rl(r) ∝r-(l+1)不满足要求。 l=0时， ψ∝R0(r)Y00∝1/r，但此解并不满足能量本征方程 第*页 r→0时，只有Rl(r) ∝rl是物理上可以接受的。等价地，要 求 径向方程的一个定解条件。 两体问题化为单体问题 实际碰到的中心力场问题，通常是两体问题。两个质量分别为m1和m2的粒子，相互作用V(|r1-r2|)=V(r) 只依赖于相对距离。这个二粒子体系的能量本征方程, 第*页 ET为体系的总能量。引入质心坐标R和相对坐标r ?1 x + r1 r2 r R ?2 O y z I 一个具有约化质量的粒子在场中的运动 II 二粒子作为一个整体的质心运动。 可以证明： 第*页 证明： 第*页 以上结果带入到两粒子能量本征方程， 分离变量 第*页 描述质心运动（自由粒子能量本征方程）平面波解 描述相对运动， E 是相对运动能量（单粒子能量本征方程） 两体问题