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第六章 数据拟合方法 电子科技大学生命学院 陈华富 2007年3月 第六章 数据拟合方法 数据拟合的最小二乘法 Bezier曲线 据实验数据分布特点选取，可选幂函数类、指数函数类、三角函数类等。 残差向量的各分量平方和记为： 若mn+1，则此方程组称超定方程组（方程个数未知数个数） 注：具体用几次多项式拟合，可据实际情况而定。可先画草图，将已知点描上去，看与什么函数相近，就以什么函数拟合。 6.2 Bezier曲线 Bezier曲线：由一组多边形折线的各顶点P0 , P1 ,……, Pm定义 。只有第一点和最后一点在曲线上，其余点用以定义曲线的阶次与倒数，多边折线的第一段与最后一段表示出曲线在起点和终点处的切线方向。 若给定控制多边形顶点P0 ,P1 ,……, Pm坐标(x0 ,y0 ) ,……(xm ,ym )，则相应的Bezier多项式定义为： （1）一次Bezier曲线（m=1）：通过平面上两点P0 ,P1 的直线段。 Bezier多项式性质： P63 习题四：1，2，3，4，5 * * 例：考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下表是实际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数的记录: 纤维强度随拉伸倍数增加而增加。 6.1 数据拟合的最小二乘法 一、 曲线拟合的数学描述与问题求解 24个点大致分布在一条直线附近。 故可认为强度y与拉伸倍数x的主要关系应为线性关系： 必须找到一种度量标准来衡量什么曲线最接近所有数据点。 x x1 x2 … … xm f(x) y1 y2 …… ym 1、数据拟合问题 研究内容：从一大堆看上去杂乱无章的数据中找出规律性来，即设法构造一条曲线（拟合曲线）反映所给数据点总的趋势，以消除其局部波动。这种要求曲线尽可能逼近给定数据的过程称“拟合”。 给定一组值： 求函数 使得 最小。 （1）若?(x)为一元函数，则函数曲线为平面图形，称曲线拟合。 （2）?(x)为拟合函数，上式最小为拟合条件（即要求拟合曲线与各数据点在y方向的误差平方和最小）。 （3）函数类的选取： 说明： 2、最小二乘法： 以残差平方和最小问题的解来确定拟合函数的方法。 令 －－在回归分析中称为残差 (i=1,2,…m) 残差向量： 由多元函数求极值的必要条件，有 可得 即 上式为由n+1个方程组成的方程组，称正规方程组。 由 得 即 引入记号 则由内积的概念可知 显然内积满足交换律 正规方程组便可化为 将其表示成矩阵形式： 其系数矩阵为对称阵。 所以正规方程组的系数矩阵非奇异,即 根据Crame法则,正规方程组有唯一解，称其为最小二乘解。 作为一种简单的情况，常使用多项式函数Pn(x)作为(xi,yi) (i=1,2,…,m)的拟合函数。 基函数之间的内积为： 拟合函数φ(x)=Pn(x)的基函数为： 即正规方程组为 例. 回到本节开始的实例，从散点图可以看出， 纤维强度和拉伸倍数之间近似线性关系，故可选取线性函数 为拟合函数建立正规方程组，其基函数为 根据内积公式，可得 正规方程组为 解得 残差平方和： 拟合曲线与散点 的关系如右图: 即为所求的最小二乘解。 故 二、 超定方程组的最小二乘解 将拟合函数以向量表示： 令 （i=1,2,…,m） 可得 考虑正规方程组 （k=0,1,…n） （1）未知数aj的系数 为超定方程组中系数阵第k列与第j列对应积之和（即内积(φk,φj)）； （2）右端向量 为系数阵第k列与m个函数对应积之和。 可知： 故正规方程组矩阵形式为： 若有唯一解，称其为超定方程组的最小二乘解。 注：最小二乘解并不能满足超定方程组中每个方程，但要求尽可能接近给定数据，即允许每个等式可以稍有偏差（即残差）。 求一般超定方程组Ax=b的主要过程： （1）求出系数矩阵A的转置矩阵AT； （2）计算矩阵D=ATA和向量f=ATb； （3）求解正规方程组Dx=f。 x 1 2 3 4 y 4 10 18 26 例1 用多项式拟合函数： 解： 设 得 即 记系数矩阵为?，则 故正规方程组为 解得 拟合曲线： Bezier曲线的数学表达式： 其中 若记 (k=0,1,…m) 则有 ——矢量表示 下面给出m=1,2,3时，Bezier曲线数学表达式： （2）二次Bezier曲线（m=2）：通过平面上三点P0 ,P1 ,P2的抛物线。 若记 则m次Bezier多项式可表示为 （3）三次Bezier曲线（m=3）：通过平面上四点P0 ,P1 ,P2 ,P3的三次曲线。 （1） （2） （3）