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第六章 概率与概率分布 第一节 基础概率 概率论起源于17世纪，当时在人口统计、人寿保险 等工作中，要整理和研究大量的随机数据资料，这就需 要一种专门研究大量随机现象的规律性的数学。 参赌者就想：如果同时掷两颗骰子 ，则点数之和为 9 和点数之和为10 ，哪种情况出现的可能性较大？ 例如17世纪中叶，贵族德·梅尔发现：将一枚骰子 连掷四次，出现一个6 点的机会比较多，而同时将两枚 掷24次，出现一次双6 的机会却很少。 概率论的创始人是法国的帕斯卡(1623—1662)和费 尔马(1601—1665)，他们在以通信的方式讨论赌博的机率 问题时，发表了《骰子赌博理论》一书。棣莫弗(1667— 1754)发现了正态方程式。同一时期瑞士的伯努利(1654一 1705)提出了二项分布理论。1814年，法国的拉普拉斯 (1749—1827)发表了《概率分析论》，该书奠定了古典概 率理论的基础，并将概率理论应用于自然和社会的研 究。此后，法国的泊松(1781—1840)提出了泊松分布，德 国的高斯(1777—1855)提出了最小平方法。 在统计学中，我们把类似掷一枚硬币的行为（或对某一随机现象进行观察）称之为随机试验。随机试验必须符合以下三个条件：①它可以在相同条件下重复进行；②试验的所有结果事先已知；③每次试验只出现这些可能结果中的一个，但不能预先断定出现哪个结果。 1.样本点 2.样本空间 [例] 掷一颗骰子，试列出它的基本事件和样本空间。 [例 ] 对掷一颗骰子的试验，我们研究如下 事件：①A为“点数是3”；②B为“出现奇数点”； ③C为“出现点数不超过6”；④D为“点数是7”。 [解] 因为Ω＝{1，2，3，4，5，6}，所以 ①A＝{3} ，为简单事件； ②B＝{1，3，5}，为复合事件； ③C＝{1，2，3，4，5，6}，为必然事件； ④D＝{7}，为不可能事件。 2. 事件之间的关系 （1）事件和（Or conjunction)——事件A与 事件B至少有一个事件发生所构成的事件C称为A 与B的事件和，记作 （2）事件积(As-well-as conjunction)——事 件A与事件B同时发生所构成的事件C称为A与B 的事件积，记作 （3）事件的包含与相等——事件A发生必然 导致事件B发生，则称为B包含A记作 如果 则 （4）互斥事件——事件A和事件B不能同时 发生，则称B和A是互斥事件，或互不相容事 件，记作 （5）对立事件——事件A与事件B是互斥事 件，且在一次试验中必有其一发生，称A与B为 对立事件（逆事件），记作 （6）相互独立事件——事件A的发生与事 件B是否发生毫无关系，称A与B为相互独立事 件，记作 两之 随间 机的 事关 件系 3. 先验概率 在统计学中，有两种常见的确定概率的方法：古 典法和频率法。 [例] 掷两枚均匀的硬币， ①求“两枚都朝上”的概率； ②求“一枚朝上，一枚朝下”的概率。 这样对于含有m个样本点的事件A，其出现 的概率为 4. 经验概率 求算概率的另一途径是运用频率法。设想有一个与某试验相联 系的事件A，把这个试验一次又一次地做下去，每次都记录事件A 是否发生了。假如做了 n 次试验，而记录到事件A发生了 m 次 （即成功 m 次），则频数与试验次数的比值，称作次试验中事件A 发生的频率 显然，频率具有双重性质：随机性和规律性. 当试验或观察次数趋近于无穷时相应频率趋于稳定，这个极 限值就是用频率法所定义的概率，即 频率稳定到概率这个事实，给了“机会大小”即概率一个浅显而 说得通的解释，这在统计学上具有很重要的意义。坚持这种观点的 统计学派也就被称为频率学派。 比如： 法国统计学家蒲丰（Buffon）把铜板抛了4040次，正面的次数是2048，比例是0.5069 。 1900年，英国统计学家皮尔逊把硬币抛了2