第六章特征中与特征向量.ppt

例2 6.2.4 实对称矩阵的正交相似对角化 任意实对称阵A不仅可对角化, 而且能找到一个正交阵P, 使得P-1AP = PTAP = ? 为对角阵. 即A可正交相似对角化. 例4 设 复 习 第六章 与 相似, 解 由|5E –A|=5-5x=0 x = 1 tr(A) =x- 2= tr(?) =y y = -1. 例1 求 x , y . 两矩阵相似 等价 5 矩阵的相似与等价的关系 显然A有特征值 5,-5. 6.2.2 相似对角化的条件及方法 1 定义 若A与对角阵相似,称A可以相似 对角化. 2 相似对角化的条件 定理6.3 n阶方阵A与对角阵相似 A有n个线性无关的特征向量. A的n个线性无关的特征向量,且?的主对角线上元素是与其对应的特征值. T-1AT=?为对角阵 T的n个列向量是 证 设A与对角阵相似, 则?可逆阵T, 使 所以有 AT = T? 用T1, T2,…, Tn表示T 的n个列向量, 即 T=(T1, T2,…, Tn) (注意:证明过程给出相似对角化的方法) 即 A(T1,…, Tn)=(AT1,…, ATn)= 等式两边的列向量应当对应相等, 所以: 由T可逆知, T1,…, Tn线性无关,故是A的 n个线性无关的特征向量. 设T1,T2,…,Tn是n个线性无关的列向量, 满足: ATi =?iTi, i=1,2,…,n 如果令 T=(T1,T2,…,Tn) AT =A(T1,T2…,Tn) =(AT1,AT2,…,ATn) =(?1T1, ?2T2,…, ?nTn) =(T1,T2,…,Tn) diag(?1,?2, …, ?n) =Tdiag(?1, ?2, …, ?n) T-1AT A可相似对角化. 若A有n个互异特征值 例如, n阶单位阵E 可对角化, 但是它的 互异特征值只有1个( n重 ). 属于A的不同特征值的特征向量线性无关 问题：若A可相似对角化, 那么A一定有n个 互异特征值? 推论 6.2.3 几何重数与代数重数 几何重数:矩阵A的每个特征值?i的特征子 空间 V?i的维数为?i的几何重数. (即 (?iE-A)X=0基础解系含向量的个数). 代数重数: ?i在特征方程中的重根数. A的特征值的几何重数?代数重数. 定理6.4 注 复矩阵A的所有特征值的代数重数之和 特征值几何重数=代数重数时. 定理6.5 复矩阵A可相似对角化 每个 =n,所以有 解 x = y. r(E –A)=1, 可相似对角化,求x , y 满足的条件. r(3E –A)=2 特征值为1，1，3. 设三阶方阵A 的特征值为1,-1,-1, 依次是对应的特征向量,求A与 解 设 则 线性无关, A可相似对角化. 例3 实对称矩阵可以正交相似对角化. 其中 是A的特征值. 证 A为n阶实对称阵, 有 定理6.6 即:若A为n阶实对称阵, 则?正交阵P, 使得 (证明过程给出方法) 不同特征值 λ1 λ2 … λs 代数重数 r1 r2 … rs 几何重数 r1 r2 … rs 无关特征向量 X11 …X1r1 X21…X2r2 … Xs1…Xs rs 标准正交化 标准正交 特征向量 则 … 为正交阵 令 * 《线性代数与空间解析几何》 哈工大数学系代数与几何教研室 王 宝 玲 特征值与特征向量 2007.9 第六章 特征向量与特征向量 相似矩阵 矩阵的相似对角化 本章的主要内容 在工程技术中有许多与振动和稳定性有关的问题（如：机械、电子、土木、化工、生态学、核物理、弹性力学、气体力学), 在数学中, 解微分方程组及简化矩阵的计算等, 都会遇到这样的问题： 1. 对于给定的3阶方阵A, 是否存在非零列 向量X,使向量AX与X平行？ 2. 如果存在这样的X, 则该如何求这个X ？ AX=?X 问题的提出： 设 则对于 有 而对于 可见有些向量X, 有AX与X平行这个性 质,而其它向量则没有这个性质. 有这样性 质的向量称为特征向量. 例1 6.1 特征值与特征向量 特征值与特征向量的概念 特征值与特征向量求法 特征值与特征向量的性质 实对称阵的特征值与特征向量 本节的主要内