北京市东城区2016届高三数学一模试卷(理科) Word版含解析.doc

2016年北京市东城区高考数学一模试卷（理科） 　 一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知复数i?（1ai）为纯虚数，那么实数a的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 2．集合A=x|x≤a}，B=x|x2﹣5x0}，若A∩B=B，则a的取值范围是（　　） A．a5 B．a4 C．a5 D．a4 3．某单位共有职工150名，其中高级职称45人，中级职称90人，初级职称15人．现采用分层抽样方法从中抽取容量为30的样本，则各职称人数分别为（　　） A．9，18，3 B．10，15，5 C．10，17，3 D．9，16，5 4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　） A． B．1 C．2 D．4 5．在极坐标系中，直线ρsinθ﹣ρcosθ=1被曲线ρ=1截得的线段长为（　　） A． B．1 C． D． 6．一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的最长棱长为（　　） A．2 B． C．3 D． 7．已知三点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）那么以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的短轴长为（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 8．已知1， 2为平面上的单位向量， 1与2的起点均为坐标原点O， 1与2夹角为．平面区域D由所有满足=λ1μ2的点P组成，其中，那么平面区域D的面积为（　　） A． B． C． D． 　 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．在的展开式中，x3的系数值为______．（用数字作答） 10．已知等比数列an}中，a2=2，a3?a4=32，那么a8的值为______． 11．如图，圆O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，若CP=AC，则COA=______；AP=______． 12．若，且，则sin2α的值为______． 13．某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如表： 货物 体积（升/件） 重量（公斤/件） 利润（元/件） 甲 20 10 8 乙 10 20 10 运输限制 110 100 在最合理的安排下，获得的最大利润的值为______． 14．已知函数f（x）=lnx|，关于x的不等式f（x）﹣f（x0）c（x﹣x0）的解集为（0，∞），其中x0（0，∞），c为常数．当x0=1时，c的取值范围是______；当时，c的值是______． 　 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．在ABC中，，AC=2，且． （Ⅰ）求AB的长度； （Ⅱ）若f（x）=sin（2xC），求y=f（x）与直线相邻交点间的最小距离． 16．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A底面ABC，BAC=90°，A1A=1，，AC=2，E、F分别为棱C1C、BC的中点． （Ⅰ）求证 ACA1B； （Ⅱ）求直线EF与A1B所成的角； （Ⅲ）若G为线段A1A的中点，A1在平面EFG内的射影为H，求HA1A． 17．现有两个班级，每班各出4名选手进行羽毛球的男单、女单、男女混合双打（混双）比赛（注：每名选手打只打一场比赛）．根据以往的比赛经验，各项目平均完成比赛所需时间如表所示，现只有一块比赛场地，各场比赛的出场顺序等可能． 比赛项目 男单 女单 混双 平均比赛时间 25分钟 20分钟 35分钟 （Ⅰ）求按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率； （Ⅱ）求第三场比赛平均需要等待多久才能开始进行； （Ⅲ）若要使所有参加比赛的人等待的总时间最少，应该怎样安排比赛顺序（写出结论即可）． 18．设函数f（x）=aex﹣x﹣1，aR． （Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间； （Ⅱ）当x（0，∞）时，f（x）0恒成立，求a的取值范围； （Ⅲ）求证：当x（0，∞）时，ln＞． 19．已知抛物线C：y2=2px（p0），焦点F，O为坐标原点，直线AB（不垂直x轴）过点F且与抛物线C交于A，B两点，直线OA与OB的斜率之积为﹣p． （Ⅰ）求抛物线C的方程； （Ⅱ）若M为线段AB的中点，射线OM交抛物线C于点D，求证：． 20．数列an}中，给定正整数m（m1），．定义：数列an}满足ai+1ai（i=1，2，…，m﹣1），称数列an}的前m项单调不增． （Ⅰ）若数列an}通项公式为：，求V（5）． （Ⅱ）若数列an}满足：，求证V（m）=a﹣b的充分必要条件是数列an}的前m项单调不增． （Ⅲ）给定正整数m（m1），若数列an}满足：an0，（n=1，2，…，m），且数列an}的前m项和m2，求V（m）的最大值与最小值．（写出答案即可） 　  2016年北京市东城区高考数学一模试卷（理科） 参考答案