第十六讲：矩阵特征值与特征向量计算1.pptVIP

圆盘定理 瑞勒商(Rayleigh Quotient)定理 乘幂法和反幂法 乘幂法的加速 Rayleigh商加速 反幂法 结合原点平移的反幂法 古典Jacobi方法 改进的Jacobi方法 Jacobi方法评述 优点：算法简单，有较强的稳定性，无论矩阵A的特征值分布如何，Jacobi法总是收敛的，算法实现容易。适合矩阵阶数不大时求特征和特征向量。 缺点：不能利用原有矩阵的特性，收敛速度慢。 Householder变换 Householder矩阵基本性质 QR算法 * 第八章 矩阵特征值和特征向量计算 /* Calculation of Eigenvalue and Eigenvector of Matrix */ 特征值与特征向量 A x = ? x ( ? ? C, x ? 0 ) 性质 (1) tr(A) = a11 + a22 + ??? + ann = ?1 + ?2 + ??? + ?n (2) det(A) = ?1 ?2 ??? ?n (3) 若 B = P -1AP 则 A 与 B 具有相同的特征值； x 是 B 的特征向量 ? Px 是 A 的特征向量. 设 ? 可是 A 的特征值，则 盖尔(Gerschgorin)圆盘定理 (i=1, 2, ... , n) 即 ? 一定包含在复平面上以 aii 为圆心， 为半径的某个圆中。 设 A 是 n 阶实对称矩阵，其特征值为 则有 其中 称为关于 x 的 Rayleigh 商。 乘幂法： 计算实矩阵 按模最大 的特征值 假设：(1) |?1| |?2| ? … ? |?n| ? 0 (2) 对应的 n 个线性无关特征向量为：x1, x2, ..., xn 。 计算过程：任取一个非零向量 v，要求满足 (x1,v) ? 0 计算 v1=Av0, v2=Av1, ..., vk+1=Avk, ... ，直到收敛。 收敛分析 当 k 充分大时，有 又 ( j =1, 2, ... , n ) vk 为 ?1 的近似特征向量 乘幂法的收敛速度取决于 的大小。 算法(乘幂法) 任取非零向量 v0，计算 1. vk+1 = Avk 2. 对 vk 中所有非零分量 (vk)j ，判断 是否近似于某个常数，如果是，则停机；否则转第 1 步。 求矩阵 按模最大的特征值。 要求自己编写Matlab 程序,进行计算并给出结果. 乘幂法中存在的问题： 改进：规范化 表示绝对值最大的分量 练习题 改进的乘幂法算法 任取非零向量 v0 3. 计算 Pk+1，若 | Pk+1- Pk |??，则输出Pk+1 并停机； 否则令 k = k+1，转第 2 步。 改进的乘幂法 1. 求出 vk 中按模最大的分量，设为 Pk 2. 计算 例： 用改进的乘幂法求 按模最大的特征值和相应的特征向量。 要求自己编写Matlab 程序,进行计算并给出结果. 乘幂法的收敛速度取决于 的大小。 原点平移法 当 r 接近于 1 时，乘幂法收敛可能会很慢！ 如何加速？ 设 B = A – pI，则 B 的特征值为：?i - p 选择适当的 p 满足： (1) ( j = 2, ... , n ) (2) 用乘幂法求出矩阵 B 的按模最大的特征值：?1 - p 设 A 是 n 阶实对称矩阵，其特征值为 对应的特征向量 x1, x2, ..., xn 满足： ， 使用改进的乘幂法计算 A 的按模最大特征值 ?1 时，uk 的Rayleigh商给出了 ?1 的较好的近似，即 证： 定理 设 A 是 n 阶非奇异矩阵，其特征值为 对应的特征向量为 x1, x2, ..., xn ； 反幂法适应范围： 计算实矩阵 按模最小 的特征值 则 A-1 的特征值为： 对应的特征向量仍然为 x1, x2, ..., xn 。 计算A的按模最小特征值 ? 计算A-1的按模最大特征值 反幂法：对 A-1 利用乘幂法，计算 A 的按模最小特征值 A 可对角化 反幂法算法 任取非零向量 v0，令 k = 0 3. 计算 Qk+1，若 | Qk+1- Qk |??，则输出 Qk+1 并停机； 否则令 k = k+1，转第 2 步。 反幂法 1. 求出 vk 中按模最大的分量，