第四章大数定律与中心极限定理.ppt

第四章 大数定律与中心极限定理 4.1 特征函数 4.1 特征函数 2.特征函数的求法 （1）当离散随机变量 的分布列为Pk= P（ = xk)，k = 1，2，…，则 的特征函数为 φ(t)= ，- ∞ t + ∞。 （2）当连续随机变量 的密度函数为p(x)，则 的特征函数为 φ(t)= ， - ∞ t + ∞。 4.1 特征函数 例4.1.1 (1) 单点分布：P( = a) = 1，其特征函数为φ(t) = eita。 (2) 0 –1分布：P( = x) =px(1 - p)1 – x，x = 0，1，其特征函数为 φ(t) = peit + q，其中q = 1 –p。 4.1 特征函数 (3) 泊松分布P(λ)：P( = k) = ，k = 0，1，…，其特征函数为 φ(t) = = = 。 (4) 标准正态分布N(0,1)：因为密度函数为p(x) = ，- ∞ x + ∞。所以特征函数为 φ(t) = = 。 二、 特征函数的性质 性质4.1.1 | φ(t) | ≤ φ(0) = 1。 性质4.1.2 φ(-t) = ，其中 是φ(t)的共轭。 性质4.1.3 若Y = a + b ，其中a，b是常数，则 。 性质4.1.4 独立随机变量和的特征函数为特征函数的积，即设X 与Y相互独立，则 。 性质4.1.5 若E( Xl)存在，则 X的特征函数可l次求异，且对1 ≤ k ≤ l，有 φ(k) (0) =ikE( Xk)。 4.1 特征函数 注 上式提供了一条求随机变量的各阶矩的途径，特别可用下式去求数学期望和方差。 4.1 特征函数 定理4.1.1 （一致连续性）随机变量 X的特征函数φ(t)在(- ∞ ，+ ∞)上一致连续。 定理4.1.2 （非负定性）随机变量X 的特征函数φ(t)是非负定的。 定理4.1.4 （唯一性定理）随机变量的分布函数由其特征函数唯一决定。 4.1 特征函数 例4.1.2 试利用特征函数的方法求伽玛分布Ga(α，λ)的数学期望和方差。 解: 因为Ga(α，λ)的特征函数φ(t) = ， φ‘(t) = ；φ‘(0) = ； φ’(t) = ；φ‘’(0) = ， 所以由性质4.1.5得 4.2 大数定律 一、何谓大数定律（大数定律的一般提法） 定义4.2.1 设 为随机变量序列，若对任意的 ,有 (4.2.5) 则称 服从大数定律。 4.2 大数定律 二、切比雪夫大数定律 定理4.2.2（切比雪夫大数定律） 设 为一列两两不相关的随机变量序列，若每个 的方差存在，且有共同的上界，即 ,则 服从大数定律，即对任意的 ，式(4.2.5)成立。 利用切比雪夫不等式就可证明。此处略。 4.2 大数定律 推论（定理4.2.1：伯努利大数定律） 设 为