第四章随机变量的数学期望.ppt

例1、已知 X～N(1,22)，Y～N(2,22)，且X、Y相互独立，求：X-2Y+3的数学期望和方差。 定理：切比雪夫不等式 §4.3 协方差与相关系数 4.3.1 协方差与相关系数的概念 我们在证明方差的性质时看到，当两个随机变量X和Y相互独立时，有 但当 X 和 Y 不相互独立时，它们之间的关系呢？ 称 为 X、Y 的相关系数。 定义4.4：设 X、Y 是两个随机变量，称 为随机变量 X、Y 的协方差，记为 即： 相关系数的特征： 是一个无量纲的 量。它描述的是 X、Y 之间的线性相关程 度。 特殊的，当 时，称X,Y不相关。 结论：X、Y相互独立，则其一定不相关； 但若 X，Y不相关，却未必相互独立。 4.3.2 协方差与相关系数的性质 1、协方差的性质: 2、相关系数的性质: （1）| | ≤ 1 ; （2）| | = 1 的充要条件为 X 与 Y 以概 率1线性相关。即存在常数 a、b，a≠0 ， 使 例1、已知随机变量X,Y相互独立，且 求 3X-Y 与 X+Y 的相关系数。 独立与不相关的关系： X、Y相互独立，则其一定不相关； 但若 X，Y不相关，却未必相互独立。 例2、已知（X,Y）的联合密度函数为： 证明：X，Y 不相关，X，Y 不独立。 §4.4 矩、协方差矩阵 4.4.1 矩 定义4.5：设X、Y是随机变量， 称为X的k阶原点矩 称为X的k阶中心矩 称为X与Y的k+l阶混合中心矩 4.4.2 协方差矩阵 设n维随机变量 X＝ ，记 称 为X的期望向量，记 为 Xi 与Xj 的协方差，则称n阶矩阵 Σ 为随机变量X的协方差矩阵。 设n维随机变量 X＝ ，记 称 为X的期望向量，记 为 Xi 与Xj 的协方差，则称n阶矩阵 Σ 协方差矩阵的性质： （1） （2） ，即协方差矩阵Σ是对称的。 （3）协方差矩阵Σ是非负定矩阵，即对任 意的 n 维实向量 t ＝ ，有 t’Σ t （4） 4.4.3 n维正态分布 定义4.6：若n维随机向量X＝ 的联合概率密度为 其中x＝ ，μ＝ ，是 n维实向量，Σ＝ 是n阶正定矩阵， |Σ|表示Σ的行列式，则称X服从n维正态 分布，记为X～N（μ，Σn×n）。 特殊的，n=2时，即： 其中 1、定义： 其中 任意， 7、 Xn×1～N（μn×1,Σn×n）的充要条件是 l’X～N（l’μ， l’ Σl）（其中l为n维常向量） （其含义是：X 服从多维正态分布的充要条 件是其任一线性组合服从一维正态分布。） 第四章 随机变量的数字特征 数学期望 方差 协方差和相关系数 矩与协方差矩阵 §4.1 数学期望 4.1.1 概念 例1、盒子中有6个球（如图）， 1 2 2 3 3 3 从中任取一球再放回，重复了三次，问三次抽到号码的平均值。 定义4.1：设离散型随机变量X 的分布列是 ， 若级数 收敛，则称随机变量 X 的数学期望存在，且称级数 的和为 X 的数学期望，并记为EX，有时也称 EX 为 X 的均值。 对连续型随机变量 X 的数学期望类似的可定 义如下： 定义4.2：如果连续型随机变量X具有密度函数 f(x)，积分 收敛，则称 X 的数学 期望存在，否则称X的数学期望不存在。若X 的数学期望存在，称积分值 为 X 的数学期望，也记为 EX。 注1、若